Определение времени достижения порога по двум измерениям через равные интервалы: тренажёр для 10 класса

Учебная цель: восстанавливать коэффициент изменения из двух наблюдений и находить первый интервал достижения порога.

Условие каждого пункта предполагает мультипликативную модель с одинаковым множителем за равные интервалы. Если измерения разделены Δt лет, коэффициент за интервал равен q = второе / первое. Новое значение появляется только на границе очередного интервала.

Три контрольных вопроса — начните без подсказок

1. Измерения в моменты t = 0 и t = 2 года дали соответственно 100 и 150. Порог 450; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
2. Измерения в моменты t = 1 и t = 2 года дали соответственно 80 и 160. Порог 640; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
3. Измерения в моменты t = 0 и t = 3 года дали соответственно 320 и 160. Порог 40; направление — убывание. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.

Ещё девять заданий

Во всех пунктах назовите и коэффициент q, и момент достижения порога. В ответе укажите, сколько интервалов прошло после первого измерения. Обратите внимание: момент начала наблюдения не всегда t = 0.

4. Измерения в моменты t = 2 и t = 4 года дали соответственно 250 и 375. Порог 560; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
5. Измерения в моменты t = 0 и t = 1 года дали соответственно 600 и 300. Порог 100; направление — убывание. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
6. Измерения в моменты t = 3 и t = 4 года дали соответственно 200 и 250. Порог 390; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
7. Измерения в моменты t = 0 и t = 2 года дали соответственно 90 и 180. Порог 720; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
8. Измерения в моменты t = 4 и t = 6 года дали соответственно 729 и 243. Порог 27; направление — убывание. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
9. Измерения в моменты t = 0 и t = 1 года дали соответственно 500 и 600. Порог 500; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
10. Измерения в моменты t = 1 и t = 4 года дали соответственно 640 и 320. Порог 90; направление — убывание. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
11. Измерения в моменты t = 0 и t = 2 года дали соответственно 100 и 100. Порог 150; направление — рост. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.
12. Измерения в моменты t = 0 и t = 2 года дали соответственно 128 и 64. Порог 0; направление — убывание. Найдите самый ранний момент t, начиная с первого измерения.

Быстрый ключ

1. 1. q = 1,5 за 2 год(а); достижение через 4 интервал(а), t = 8; 337,5 < 450 ≤ 506,25
2. 2. q = 2 за 1 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 4; 320 < 640 ≤ 640
3. 3. q = 0,5 за 3 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 9; 80 > 40 ≥ 40
4. 4. q = 1,5 за 2 год(а); достижение через 2 интервал(а), t = 6; 375 < 560 ≤ 562,5
5. 5. q = 0,5 за 1 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 3; 150 > 100 ≥ 75
6. 6. q = 1,25 за 1 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 6; 312,5 < 390 ≤ 390,625
7. 7. q = 2 за 2 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 6; 360 < 720 ≤ 720
8. 8. q = 1/3 за 2 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 10; 81 > 27 ≥ 27
9. 9. q = 1,2 за 1 год(а); достижение через 0 интервал(а), t = 0; порог уже достигнут в первое измерение
10. 10. q = 0,5 за 3 год(а); достижение через 3 интервал(а), t = 10; 160 > 90 ≥ 80
11. 11. q = 1 за 2 год(а); достижение невозможно: при таком коэффициенте рост к порогу невозможен
12. 12. q = 0,5 за 2 год(а); достижение невозможно: строго положительная модель не достигнет нулевого порога

Пояснение к ловушкам

В пункте 5 деление значений даёт коэффициент 0,5 за один год. При пороге 100 недостаточно одного шага: 600 → 300 → 150 → 75, поэтому первый допустимый результат появляется после трёх интервалов. В пункте 10 исходное измерение сделано в третий год? Нет: там t = 1 и t = 4. Это подчёркивает, что количество интервалов и календарная координата t — разные числа.

При совпадающих измерениях в пункте 11 коэффициент q = 1. Более высокий порог невозможен: даже спустя много интервалов величина не изменится. В пункте 12 положительная величина уменьшается вдвое, но ни в один конечный момент не становится нулевой. Проверяйте смысл результата до округления.