Определение времени достижения порога при убывании в фиксированное число раз — диагностика ошибок, 10 класс

Учебная цель: проверять первый момент, когда положительная величина при многократном делении становится не больше порога.

Это не линейное уменьшение «на одно и то же количество». Каждый шаг делит текущее значение на одно и то же число q > 1. Формула: A(n) = A(0) / qⁿ. Все пороги трактуются как «не больше T»; равенство уже считается достижением.

Разобранная ошибочная работа

В лаборатории начальные 1024 условные единицы каждые сутки уменьшаются в 2 раза. Требуется не больше 70 единиц. Ученик написал: «1024 − 2n ≤ 70, следовательно, n ≥ 477». Ошибка в выборе модели: каждый день не вычитают двойку, а делят на неё. Правильные значения: после трёх суток 128, после четырёх 64. Значит, первый подходящий момент — 4 суток.

Для обратной проверки подставляем n = 4 и n = 3 в исходное выражение, а не в ошибочно преобразованное неравенство. Если оба числа не сравнить с порогом, нельзя обосновать минимальность срока.

Шесть ошибок, которые нужно обнаруживать

1. Подмена деления на q вычитанием q: A(0)/qⁿ неверно превращают в A(0) − qn.
2. Указание «первого» срока без проверки предыдущего шага; правильного результата может быть недостаточно.
3. Неверное отношение к равенству: для условия «не больше» значение ровно T допустимо.
4. Автоматическое округление дробного срока в меньшую сторону; достигнуть порога можно только на целочисленном шаге.
5. Забытый нулевой шаг: если уже A(0) ≤ T, ответ ноль, сколько бы ни было задано коэффициентов.
6. Попытка получить точный ноль делением положительного числа на конечную степень q; это невозможно.

Карточка 1. Обратная проверка результатов

В заданиях 1–8 найдите минимальное n. Работайте последовательно: запишите формулу, вычислите величину перед предполагаемым сроком, затем проверьте сам срок. Часть чисел подобрана так, чтобы порог достигался ровно, а часть — между двумя соседними шагами.

1. Начальное значение 4096; на каждом шаге делится на 2; нужно добиться значения не больше 260. Определите n и покажите обратную проверку.
2. Начальное значение 6561; на каждом шаге делится на 3; нужно добиться значения не больше 100. Определите n и покажите обратную проверку.
3. Начальное значение 1000; на каждом шаге делится на 2; нужно добиться значения не больше 125. Определите n и покажите обратную проверку.
4. Начальное значение 1000; на каждом шаге делится на 2; нужно добиться значения не больше 124. Определите n и покажите обратную проверку.
5. Начальное значение 512; на каждом шаге делится на 2; нужно добиться значения не больше 64. Определите n и покажите обратную проверку.
6. Начальное значение 10000; на каждом шаге делится на 10; нужно добиться значения не больше 10. Определите n и покажите обратную проверку.
7. Начальное значение 729; на каждом шаге делится на 3; нужно добиться значения не больше 27. Определите n и покажите обратную проверку.
8. Начальное значение 300; на каждом шаге делится на 2; нужно добиться значения не больше 50. Определите n и покажите обратную проверку.

Карточка 2. Новое ограничение и опасные исключения

Случаи 9–16 требуют не только числа шагов, но и пояснения, почему раньше порог не был достигнут. Если цель недостижима, так и напишите; «бесконечно много шагов» не является целым конечным ответом.

9. Из 900 после каждого периода остаётся одна 3-я часть. Порог — 100 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
10. Из 1600 после каждого периода остаётся одна 2-я часть. Порог — 100 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
11. Из 625 после каждого периода остаётся одна 5-я часть. Порог — 20 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
12. Из 1200 после каждого периода остаётся одна 4-я часть. Порог — 75 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
13. Из 2401 после каждого периода остаётся одна 7-я часть. Порог — 7 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
14. Из 90 после каждого периода остаётся одна 3-я часть. Порог — 100 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
15. Из 128 после каждого периода остаётся одна 2-я часть. Порог — 0 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?
16. Из 1728 после каждого периода остаётся одна 12-я часть. Порог — 1 или меньше. Сколько периодов потребуется впервые?

Ключ с двумя соседними проверками

1. 1. 4 шаг(ов): на шаге 3 получаем 512 > 260, на шаге 4 получаем 256 ≤ 260.
2. 2. 4 шаг(ов): на шаге 3 получаем 243 > 100, на шаге 4 получаем 81 ≤ 100.
3. 3. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 250 > 125, на шаге 3 получаем 125 ≤ 125.
4. 4. 4 шаг(ов): на шаге 3 получаем 125 > 124, на шаге 4 получаем 62,5 ≤ 124.
5. 5. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 128 > 64, на шаге 3 получаем 64 ≤ 64.
6. 6. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 100 > 10, на шаге 3 получаем 10 ≤ 10.
7. 7. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 81 > 27, на шаге 3 получаем 27 ≤ 27.
8. 8. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 75 > 50, на шаге 3 получаем 37,5 ≤ 50.
9. 9. 2 шаг(ов): на шаге 1 получаем 300 > 100, на шаге 2 получаем 100 ≤ 100.
10. 10. 4 шаг(ов): на шаге 3 получаем 200 > 100, на шаге 4 получаем 100 ≤ 100.
11. 11. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 25 > 20, на шаге 3 получаем 5 ≤ 20.
12. 12. 2 шаг(ов): на шаге 1 получаем 300 > 75, на шаге 2 получаем 75 ≤ 75.
13. 13. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 49 > 7, на шаге 3 получаем 7 ≤ 7.
14. 14. 0 шагов: исходное 90 уже не превышает 100.
15. 15. порог 0 не достигается при конечном числе делений: положительная величина остаётся больше нуля.
16. 16. 3 шаг(ов): на шаге 2 получаем 12 > 1, на шаге 3 получаем 1 ≤ 1.

Когда решение кажется неожиданным

№ 3 и № 4. Исходное число и делитель одинаковы (1000 и 2), однако различаются пороги: 125 и 124. В первом случае достаточно трёх шагов: 1000/8 = 125. Во втором требуется четвёртый: 125 больше 124, а 62,5 уже не больше. Это пример того, почему одна единица в пороге меняет дискретный срок на целый период.

№ 14. Модель не требует хоть одного шага только потому, что речь идёт об убывании: 90 ≤ 100 ещё до начала испытания. № 15. При любом конечном n число 128/2ⁿ строго положительно. Оно стремится к нулю, но нуля не достигает; знак «≤ 0» никогда не выполняется.

№ 16. Число 1728 разделили на 12 трижды: 1728 → 144 → 12 → 1. Здесь порог достигнут точно, а не «почти»; сам момент n = 3 обязательно включается в ответ.

Методическая проверка

Взаимопроверка: ученик А называет срок, ученик Б пытается опровергнуть его, проверяя ровно один предыдущий шаг. Если А предъявил только вычисление в найденном году, Б вправе попросить доказать минимальность. Для всех заданий число шагов неотрицательное и целое. При самостоятельной работе достаточно двух пунктов из карточки 1 и одного нестандартного из карточки 2; оставшиеся можно раздать как варианты.