Определение времени работы одинаковых станков — задания на закрепление, 6 класс

Цель: найти время выполнения одной и той же работы несколькими одинаковыми станками и объяснить, почему время меняется обратно пропорционально количеству одновременно работающих станков.

Короткое правило: станко-часы сохраняются

Если один и тот же заказ выполняют n одинаковых станков за t часов, то общий объём работы, измеренный в станко-часах, равен n × t. Для другого числа станков m получаем t₂ = n × t : m. Предполагается, что все станки работают одновременно с одинаковой постоянной производительностью и задание можно разделить между ними.

Пример: 4 станка делают партию за 9 часов. Шести станкам потребуется 4 × 9 : 6 = 6 часов. В проверке 4 × 9 = 36 станко-часов и 6 × 6 = 36 станко-часов. Больше станков — меньше времени, но лишь при неизменном общем объёме заказа.

Найди ошибку в каждом из шести решений

1. Два станка выполняют заказ за 12 ч. Ученик пишет: «Четыре станка выполнят за 24 ч, потому что станков вдвое больше».
2. Три станка выполняют заказ за 8 ч. Ученик пишет: «Шести станкам нужно 16 ч».
3. Пять станков делают заказ за 10 ч. Ученик пишет: «Одному станку хватит 2 ч».
4. Четыре станка справляются за 15 ч. Ученик пишет: «Десяти нужно 37,5 ч».
5. Шесть станков выполняют заказ за 7 ч. Ученик пишет: «Девяти достаточно 4 ч, остаток можно отбросить».
6. Восемь станков работают 9 ч. Ученик пишет: «Двенадцать станков закончат за 8 ч».

Перед тем как смотреть исправления, подпишите под каждой ошибкой её причину: «прямая пропорциональность вместо обратной», «неверное направление изменения», «неверное округление» или «нарушение инварианта станко-часов».

Самостоятельная серия: девять заданий

7. Три станка выполняют заказ за 16 ч. Сколько часов нужно восьми станкам? Решение: _____________________________
8. Четыре станка делают партию за 18 ч. Время для шести станков? Решение: _____________________________
9. Двенадцать станков заканчивают заказ за 5 ч. Сколько нужно трём станкам? Решение: _____________________________
10. Семь станков справляются за 12 ч. Сколько часов потребуется четырнадцати? Решение: _____________________________
11. Пять станков работают 9 ч. Как долго будут работать пятнадцать? Решение: _____________________________
12. Два станка выполняют заказ за 20 ч. Сколько нужно пяти? Решение: _____________________________
13. Шесть станков заканчивают работу за 14 ч. Сколько нужно четырём? Решение: _____________________________
14. Девять станков работают 10 ч. Сколько нужно пятнадцати? Решение: _____________________________
15. Восемь станков справляются за 12 ч. Сколько нужно восемнадцати? Ответ в часах и минутах. Решение: _____________________________

Самостоятельная проверка разумности ответа

Для любой задачи сначала ответьте на вопрос: стало больше или меньше станков? Если больше, время на тот же заказ должно быть меньше; если меньше, времени понадобится больше. Только после этого подставляйте числа. Такой контроль без вычислений сразу выявляет неверное направление зависимости в ошибках № 1–4.

Можно рассуждать через общий объём работы: если 3 станка работали по 16 часов, они произвели 48 станко-часов. Восемь таких же станков должны разделить эти 48 часов между собой, поэтому каждый работает 6 часов. Здесь выражение «станко-час» — единица объёма машинной работы, а не длительность смены одного рабочего.

Для задачи № 14: пятнадцать станков делают тот же заказ, для которого девяти требовалось десять часов. Новый срок 9 × 10 : 15 = 6 ч. Проверка равенством 9 × 10 = 15 × 6 объясняет, почему произведения одинаковы. Простое правило «больше машин — быстрее» даёт только направление, но не точное число часов.

Исправленные решения и объяснения

Часть 1 — правильное решение неверных примеров

Часть 2 — самостоятельные задачи

Что важно в реальной мастерской

Формула не учитывает подготовку станков и время, которое нельзя распараллелить. Например, если после обработки заготовок требуется обязательная общая проверка длительностью 2 ч, уменьшение времени обработки за счёт числа станков не сократит эти 2 ч. Такую ситуацию нужно описывать отдельной моделью, а не выдавать всю работу за обратно пропорциональную.

Если результат 4 ч 40 мин, нельзя записывать 4,40 ч: это десятичное число означает 4 ч 24 мин. Дробную часть часа умножайте на 60. В задаче 15 получаем 16/3 = 5 + 1/3 часа; 1/3 часа = 20 минут. Если в условии есть ограничение «отработать только целое число часов», округление вверх потребовало бы нового уточнения об организации работы.

Критерий освоения: не менее пяти правильно объяснённых ошибок из шести и семи верных самостоятельных решений из девяти; для каждой задачи следует указать часы или часы и минуты.