Определение выброса и его влияния на среднее — задания на закрепление, 8 класс

Проверочная работа, 8 класс. Выброс — наблюдение, заметно отличающееся от основной массы. Оно способно сильно изменить среднее арифметическое, поскольку входит в сумму наравне с другими числами. Однако числовое правило обнаружения выбросов не является универсальным: в заданиях 1–16 каждый учебный контрольный порог дан отдельно. По порогу отмечается подозрительное значение, но оно не удаляется автоматически.

Базовый уровень: что меняется от одного экстремального числа

Возьмём измерения 6; 8; 10; 12. Их сумма 36, среднее 9. Если добавить результат 64, новая сумма 100, число наблюдений 5 и среднее 20. Отличие 20 − 9 = 11 вызвано одним очень большим числом. Это сравнение двух разных наборов, а не доказательство того, что число 64 ошибочно.

Сначала вычислите среднее всего ряда. Далее для анализа чувствительности временно уберите помеченное наблюдение, пересчитайте сумму и количество наблюдений, сравните результаты. При этом нужно явно подписывать, к какому набору относится каждое среднее. Сокращать знаменатель без изменения числителя или наоборот нельзя.

Задания 1–8. Найдите выброс по заданному порогу

1. Контрольный ряд (8; 9; 10; 11; 90). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 20. Найдите значение-флаг, среднее всех 5 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
2. Контрольный ряд (12; 14; 16; 18; 20; 92). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 30. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
3. Контрольный ряд (3; 4; 5; 6; 7; 42). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 10. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
4. Контрольный ряд (15; 17; 19; 87). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 25. Найдите значение-флаг, среднее всех 4 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
5. Контрольный ряд (21; 23; 25; 27; 29; 121). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 40. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
6. Контрольный ряд (5; 7; 9; 11; 13; 15; 65). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 25. Найдите значение-флаг, среднее всех 7 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
7. Контрольный ряд (24; 26; 28; 30; 4). По условию опыта подозрительными считаются значения меньше 15. Найдите значение-флаг, среднее всех 5 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
8. Контрольный ряд (32; 34; 36; 38; 40; 3). По условию опыта подозрительными считаются значения меньше 20. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.

Повышенный уровень: выброс сверху и выброс снизу

Число, заметно превосходящее другие наблюдения, обычно сдвигает среднее вверх. Но экстремально малое значение тоже может быть выбросом и сдвинуть среднее вниз. Сравните оба случая, а не ищите всегда максимальный элемент. Даже если данные имеют одинаковую медиану, их средние могут различаться: среднее учитывает реальные расстояния между числами.

Задания 9–16. Изучите направление и величину изменения

9. Контрольный ряд (6; 8; 10; 12; 14; 60). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 20. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
10. Контрольный ряд (40; 44; 48; 52; 6). По условию опыта подозрительными считаются значения меньше 30. Найдите значение-флаг, среднее всех 5 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
11. Контрольный ряд (11; 13; 15; 17; 19; 21; 111). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 35. Найдите значение-флаг, среднее всех 7 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
12. Контрольный ряд (7; 8; 9; 10; 47). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 15. Найдите значение-флаг, среднее всех 5 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
13. Контрольный ряд (14; 16; 18; 20; 2). По условию опыта подозрительными считаются значения меньше 10. Найдите значение-флаг, среднее всех 5 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
14. Контрольный ряд (26; 28; 30; 32; 34; 102). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 40. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
15. Контрольный ряд (18; 20; 22; 24; 26; 3). По условию опыта подозрительными считаются значения меньше 12. Найдите значение-флаг, среднее всех 6 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.
16. Контрольный ряд (2; 4; 6; 8; 10; 12; 62). По условию опыта подозрительными считаются значения больше 20. Найдите значение-флаг, среднее всех 7 наблюдений, среднее остальных после гипотетического исключения флага и изменение среднего. Объясните направление сдвига.

Задания 17–18. Когда нельзя исключать наблюдение без оговорок

17. В наборе 9; 10; 11; 12; 13; 50 значение 50 явно далеко от остальных. Имеет ли ученик право без объяснения удалить его и сообщить среднее по оставшимся пяти как среднее исходного набора?
18. Результаты измерения: 17; 18; 19; 20; 86. Если 86 — подтверждённый реальный результат, а не опечатка, как корректно сообщить среднее? Покажите также значение без 86 только для сравнения чувствительности.

Критерии самопроверки

• Отмечено только значение, нарушающее указанный в задаче порог.
• Среднее исходного ряда рассчитано по всем наблюдениям.
• В сравнительном среднем правильно уменьшены на единицу и число элементов, и сумма на соответствующее значение.
• Направление изменения совпадает со знаком разности «полное среднее − сравниваемое среднее».
• Для реальных измерений отличайте ошибку записи от редкого, но достоверного результата.

Полные ответы со всеми промежуточными величинами

1. Порог 20: помечено значение 90; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 128, среднее 128/5 = 128/5; без помеченного числа: 38/4 = 19/2. Изменение (полное минус без флага) равно 161/10; крупное наблюдение повышает среднее.
2. Порог 30: помечено значение 92; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 172, среднее 172/6 = 86/3; без помеченного числа: 80/5 = 16. Изменение (полное минус без флага) равно 38/3; крупное наблюдение повышает среднее.
3. Порог 10: помечено значение 42; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 67, среднее 67/6 = 67/6; без помеченного числа: 25/5 = 5. Изменение (полное минус без флага) равно 37/6; крупное наблюдение повышает среднее.
4. Порог 25: помечено значение 87; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 138, среднее 138/4 = 69/2; без помеченного числа: 51/3 = 17. Изменение (полное минус без флага) равно 35/2; крупное наблюдение повышает среднее.
5. Порог 40: помечено значение 121; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 246, среднее 246/6 = 41; без помеченного числа: 125/5 = 25. Изменение (полное минус без флага) равно 16; крупное наблюдение повышает среднее.
6. Порог 25: помечено значение 65; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 125, среднее 125/7 = 125/7; без помеченного числа: 60/6 = 10. Изменение (полное минус без флага) равно 55/7; крупное наблюдение повышает среднее.
7. Порог 15: помечено значение 4; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 112, среднее 112/5 = 112/5; без помеченного числа: 108/4 = 27. Изменение (полное минус без флага) равно -23/5; необычно малое наблюдение понижает среднее.
8. Порог 20: помечено значение 3; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 183, среднее 183/6 = 61/2; без помеченного числа: 180/5 = 36. Изменение (полное минус без флага) равно -11/2; необычно малое наблюдение понижает среднее.
9. Порог 20: помечено значение 60; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 110, среднее 110/6 = 55/3; без помеченного числа: 50/5 = 10. Изменение (полное минус без флага) равно 25/3; крупное наблюдение повышает среднее.
10. Порог 30: помечено значение 6; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 190, среднее 190/5 = 38; без помеченного числа: 184/4 = 46. Изменение (полное минус без флага) равно -8; необычно малое наблюдение понижает среднее.
11. Порог 35: помечено значение 111; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 207, среднее 207/7 = 207/7; без помеченного числа: 96/6 = 16. Изменение (полное минус без флага) равно 95/7; крупное наблюдение повышает среднее.
12. Порог 15: помечено значение 47; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 81, среднее 81/5 = 81/5; без помеченного числа: 34/4 = 17/2. Изменение (полное минус без флага) равно 77/10; крупное наблюдение повышает среднее.
13. Порог 10: помечено значение 2; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 70, среднее 70/5 = 14; без помеченного числа: 68/4 = 17. Изменение (полное минус без флага) равно -3; необычно малое наблюдение понижает среднее.
14. Порог 40: помечено значение 102; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 252, среднее 252/6 = 42; без помеченного числа: 150/5 = 30. Изменение (полное минус без флага) равно 12; крупное наблюдение повышает среднее.
15. Порог 12: помечено значение 3; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 113, среднее 113/6 = 113/6; без помеченного числа: 110/5 = 22. Изменение (полное минус без флага) равно -19/6; необычно малое наблюдение понижает среднее.
16. Порог 20: помечено значение 62; остальные лежат по другую сторону порога. Сумма полного ряда 104, среднее 104/7 = 104/7; без помеченного числа: 42/6 = 7. Изменение (полное минус без флага) равно 55/7; крупное наблюдение повышает среднее.
17. Нет. Среднее исходного ряда равно (9+10+11+12+13+50)/6 = 105/6 = 17,5. Среднее 11 получается лишь у другого ряда без 50. Сравнить их полезно, но исключение нельзя скрывать.
18. Среднее всех пяти измерений (17+18+19+20+86)/5 = 160/5 = 32. Без 86 получилось бы 74/4 = 18,5. Обе величины можно показать с объяснением, но основным средним исходных данных остаётся 32, поскольку 86 — реальное наблюдение.

Разбор трёх тонких моментов

1. Не существует единственного определения выброса «на глаз». В задачах с порогом он задан условием. В статистической практике можно применять критерии по квартилям, стандартным отклонениям или предметным ограничениям, и результаты разных критериев иногда отличаются. Поэтому в ответе надо указать, по какому правилу значение помечено.

2. Удаление меняет размер выборки. Если было 6 значений, после исключения остаётся 5. Нельзя пересчитать среднее как «прежняя сумма минус выброс, делённая по-прежнему на 6». Каждое изменение состава ряда требует заново определить его объём.

3. Среднее исходной выборки и среднее очищенной — разные показатели. Изменение может быть полезно для проверки чувствительности, однако нельзя выдавать среднее без исключённого значения за среднее полного набора. Если число подтверждено, его исключение требует отдельного методологического основания.

Оценка работы. За каждое из 18 заданий 1 балл при правильном числовом результате и объяснении. В первых 16 заданиях нужны обе суммы, оба делителя и разница средних. В последних двух — этически и математически корректная интерпретация результата. Все ответы — числа в единицах исходного показателя.