Определение взаимного расположения по описанию трёхмерной фигуры — самостоятельная работа, 10 класс

Математика • 10 класс • Практические карточки • MATH-1788

Учебная цель: определять пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые, а также положение прямой относительно плоскости по описанию призмы.

Маршрут: от описания коробки к трёхмерному выводу

Представьте прямоугольную призму ABCD–A₁B₁C₁D₁. Все нижние вершины расположены в одной горизонтальной плоскости: A(0;0;0), B(4;0;0), C(4;3;0), D(0;3;0). Верхние вершины A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на высоте 5 и имеют те же первые две координаты, что и соответствующие нижние. Это описание фиксирует взаимное положение объектов без зависимости от перспективного рисунка.

Лёгкий старт: восемь ситуаций с рёбрами

1. Рёбра AB и CD: пересекаются, параллельны или скрещиваются?
2. Рёбра AB и BC?
3. Прямые AB и CC₁?
4. Прямые AB и A₁B₁?
5. Диагонали основания AC и BD?
6. Рёбра AA₁ и BB₁?
7. Рёбра AA₁ и A₁B₁?
8. Прямые AA₁ и BC?

После каждого ответа задайте себе вопрос: «Сохраняется ли третья координата и можно ли найти одну и ту же пространственную точку?» Например, AB проходит по линии y=0, z=0, а CC₁ имеет x=4, y=3. Их проекции могут обманывать глаз, но точек с одновременно y=0 и y=3 не существует.

Развилка: ошибка или верно?

Ученик заявил: «Любые две прямые на разных гранях призмы скрещиваются». Это неверно. Рёбра AB и A₁B₁ лежат на разных основаниях, однако параллельны. Другой ученик сказал: «Если прямая находится в плоскости, она параллельна этой плоскости». Это также неверно в принятом школьном строгом определении: параллельная прямая не должна иметь с плоскостью общих точек.

Следующая ступень: диагонали и боковые плоскости

9. Прямые AC и A₁C₁?
10. Прямые A₁D₁ и CD?
11. Прямая AB и верхняя плоскость A₁B₁C₁?
12. Прямая AC и плоскость ABC?
13. Прямая AA₁ и плоскость A₁B₁C₁?
14. Прямая CD и боковая плоскость ABB₁?

Финальная ступень: установите тип связи без рисунка

15. Прямая BC и боковая плоскость ABB₁?
16. Прямая AA₁ и боковая плоскость BCC₁?
17. Прямая AB и прямая A₁D₁?
18. Прямая A₁C₁ и плоскость ABC?

Ответы с проверкой модели

1. Параллельны: это противоположные стороны нижнего прямоугольника ABCD.
2. Пересекаются в вершине B.
3. Скрещиваются: не параллельны и не имеют общей точки; лежат в разных направлениях пространства.
4. Параллельны: это соответствующие рёбра параллельных оснований.
5. Пересекаются в центре основания; у прямоугольника диагонали делятся пополам.
6. Параллельны как боковые рёбра прямой призмы.
7. Пересекаются в A₁.
8. Скрещиваются: одна вертикальная, другая лежит в нижнем основании и не проходит через A.
9. Параллельны: диагонали соответствующих граней при переносе вдоль боковых рёбер.
10. Скрещиваются: направления различны, общих точек нет.
11. Строго параллельны: AB лежит в нижнем основании, которое не пересекает верхнюю плоскость.
12. Прямая содержится в плоскости, поэтому не является параллельной ей в строгом определении «нет общих точек».
13. Пересекаются в A₁; вертикальное ребро не параллельно верхней грани.
14. Параллельны: CD имеет направление AB и лежит при y=3, тогда как эта боковая грань лежит при y=0.
15. Пересекаются в B; содержаться в боковой грани BC не может.
16. Параллельны: ребро AA₁ имеет x=0, а вся плоскость BCC₁ имеет x=4.
17. Скрещиваются: первая направлена по оси x внизу, вторая по y наверху; общей точки нет.
18. Параллельны: верхняя диагональ лежит на постоянной высоте 5 и не касается z=0.

Полезный приём — проверка координат. Если для всех точек одной прямой z=5, а для всех точек нижнего основания z=0, то пересечения нет. Для пары прямых отсутствие пересечения ещё не означает параллельности: сначала сравните направления. Так, AB и A₁D₁ имеют разные направления; при отсутствии общей точки они скрещиваются.

Рекомендации по исправлению ошибок: если путаются «скрещиваются» и «параллельны», сначала попробуйте найти общую плоскость. Если путаются «лежит» и «параллельна», проверьте наличие хотя бы одной общей точки. Если затруднение возникает на диагоналях, вернитесь к меткам вершин и восстановите соответствующие основания. Эта карточка тренирует чтение пространственного описания, а не вычисление углов.

Проверка знаний после работы: придумайте ещё одну пару скрещивающихся прямых, например BD и CC₁, и докажите, что они не пересекаются и не параллельны. Затем возьмите пару вертикальных рёбер, объясните их параллельность и покажите совпадающее направление векторов. Это два разных типа доказательств: для скрещивания нужно исключить и пересечение, и параллельность; для параллельности достаточно найти общее направление в одной плоскости.

Наконец, различайте бесконечные прямые и сами отрезки-рёбра. Если говорим о взаимном расположении прямых AB и BC, рассматриваем их полные продолжения, но общая вершина B остаётся общей точкой и у отрезков, и у прямых. При вычислениях или текстовом описании без чертежа полезно выписать координаты хотя бы одной предполагаемой общей точки, иначе вывод может опираться только на иллюзию перспективы.