Определение зоны роста и убывания для таблицы с отрицательными входами — тренажёр для 8 класса

Как читать таблицу с отрицательными аргументами

Числа −8, −7, −6 идут по оси x именно в таком порядке слева направо. Если соответствующие значения 6, 3, 1, функция убывает. Если y повторяются в соседних столбцах и по условию эти точки соединены прямым отрезком, получаем участок постоянства. Два равных y в несоседних столбцах сами по себе не говорят о постоянстве.

Строгое возрастание на отрезке означает: из любых x₁<x₂ на нём следует f(x₁)<f(x₂). Для убывания знак неравенства противоположный. На горизонтальном участке функция ни строго возрастает, ни строго убывает. У отдельных графиков могут быть одновременно несколько разных по направлению частей.

Полезный алгоритм: упорядочить x → вычислить изменения y между соседними узлами → поставить стрелки ↑, ↓ или знак «=» → объединить последовательные участки с одним строгим направлением. Для графика-ломаной это даёт верные интервалы монотонности.

Уровень 1 — отрицательные узлы и два плато

График A проходит последовательно через все узлы таблицы. По узлам с x=−6 и −5 проведён горизонтальный отрезок. Для заданий № 1–8 используйте этот график без предположений о других точках.

1. № 1. Сравните f(−8) и f(−7). В какую сторону идёт график при движении вправо?
2. № 2. Назовите самый длинный участок строгого убывания от первого узла таблицы.
3. № 3. Что происходит на [−6; −5]? Является ли функция строго возрастающей там?
4. № 4. На каком участке график A поднимается от 1 до 7? Укажите границы в порядке возрастания x.
5. № 5. Укажите участок, где значения падают от 7 до 2.
6. № 6. Найдите f(−4) и f(−2). Убывает ли функция на всём промежутке [−4; −2]?
7. № 7. Найдите наибольшее табличное значение и его абсциссу.
8. № 8. Верно ли, что A убывает строго на [−8; −5], если f(−8)>f(−5)?

Уровень 2 — переход через нуль

Модель B добавляет положительный x=1, чтобы показать: смена знака аргумента сама по себе не заставляет зависимость изменить направление. Все значения между табличными узлами определяются линейной интерполяцией.

9. № 9. Как меняется f от x=−9 до x=−7?
10. № 10. Назовите участок постоянства с нулевым значением.
11. № 11. Где функция достигает наибольшего значения среди строго отрицательных табличных x?
12. № 12. Укажите участок убывания от значения 3 до 1.
13. № 13. Вычислите f(−6), используя установленный способ соединения точек.
14. № 14. Найдите f(−3) на отрезке между (−4;3) и (−2;1).
15. № 15. Как изменится функция от x=−1 до x=1, если прямая пересекает нуль абсцисс?
16. № 16. Можно ли считать горизонтальным отрезок [−7;−5] только потому, что его концы имеют одинаковый y?

Уровень 3 — минимум и восстановление промежуточных значений

У модели C наибольшая часть точек лежит слева от нуля. Проверяйте не только направление, но и скорость изменения: одинаковое возрастание x может давать совсем разные изменения функции.

17. № 17. Назовите весь участок строгого убывания до точки минимума.
18. № 18. Найдите f(−4), если на [−5;−3] график — отрезок.
19. № 19. На каком отрезке функция возрастает на 6 единиц?
20. № 20. Определите участок постоянства и значение на нём.
21. № 21. Где находится минимум графика C?
22. № 22. Сравните f(−5) и f(0). Означает ли это сравнение возрастание на всём [−5;0]?
23. № 23. Сравните изменение y на один шаг x в пределах [−5;−3] и [−3;−2].
24. № 24. Можно ли по таблице и заданной ломаной установить f(−7)?

Полные решения уровня 1

1. № 1. 6>3; от x=−8 к −7 график убывает на 3 единицы значения.
2. № 2. [−8; −6]: значения 6→3→1 уменьшаются, а затем появляется горизонтальный отрезок.
3. № 3. f(x)=1 на всём отрезке, поскольку узлы соединены прямым горизонтальным отрезком; строго не возрастает.
4. № 4. На [−5; −3]: 1→4→7. Нельзя записывать границы в обратном порядке −3;−5.
5. № 5. [−3; −1], так как 7→5→2.
6. № 6. f(−4)=4, f(−2)=5. Нет: сначала 4→7 рост, затем 7→5 спад; сравнения концов недостаточно.
7. № 7. 7 при x=−3. Для ломаной между узлами выше 7 значений нет, поэтому это и максимум на [−8;0].
8. № 8. Нет. Несмотря на 6>1, между −6 и −5 функция постоянна. Строгое убывание проверяют для всех промежуточных x.

Особое внимание уделите № 6 и № 8: увеличение между крайними значениями не гарантирует монотонность на всём промежутке. Построение ломаной и выбор соседних точек показывают, где возникает смена направления или горизонтальный участок.

Решения уровня 2

9. № 9. −2→0: возрастает на две единицы.
10. № 10. [−7; −5]: оба узла имеют ноль и между ними проложен горизонтальный отрезок.
11. № 11. 3 при x=−4. Положительная точка x=1 даёт 4, но в вопросе она исключена.
12. № 12. [−4; −2]: 3→1, промежуточных узлов нет.
13. № 13. 0: x=−6 находится на горизонтальном отрезке между −7 и −5.
14. № 14. Наклон (1−3)/(−2+4)=−1; при перемещении на 1 вправо значение падает с 3 до 2.
15. № 15. 1→4: возрастает. Переход через x=0 не меняет направления: оно определяется приращением y при росте x.
16. № 16. В данном условии — да, поскольку точки соединены отрезками. Для произвольной функции одного равенства значений на концах недостаточно.

В № 14 значение f(−3)=2 найдено не из нового измерения, а из прямо указанного правила «соединить узлы отрезками». Без такого правила для x=−3 нельзя было бы получить единственный ответ. Это различие между таблицей данных и математической моделью важно для всех трёх уровней.

Разбор уровня 3 и итоговая проверка

17. № 17. [−6;−3]: последовательность 4→0→−4, между узлами тоже спуск.
18. № 18. Между (−5;0) и (−3;−4) середина при x=−4 имеет значение −2.
19. № 19. [−3;−2]: −4→2, разность 2−(−4)=6.
20. № 20. [−2;0]; значение f(x)=2 на всём отрезке.
21. № 21. В точке (−3;−4); у соседних узлов значения выше, а на соединительных отрезках ещё меньших нет.
22. № 22. 0<2, но нет: от −5 до −3 функция сначала падает. По крайним значениям направление на всём промежутке не определяют.
23. № 23. На первом участке наклон −2 (изменение −4 за два шага), на втором +6 (рост 6 за один шаг).
24. № 24. Нет. График определён только на [−6;0]. Продолжение влево не задано.

Итоговые интервалы для C: убывание [−6;−3], возрастание [−3;−2], постоянство [−2;0]. У A и B отрезки постоянства разрывают последовательности строгой монотонности. Если учащийся считает, что −7 меньше −8, стоит повторить расположение отрицательных чисел на числовой прямой перед новой попыткой.

Все 24 задания имеют конкретные ответы; для оценки можно начислить 1 балл за верно названный результат и ещё 1 за объяснение. Никаких выводов о функции вне заявленной области определения делать нельзя.

Как проверять длинные интервалы: метод соседних звеньев

Если два соседних отрезка ломаной оба направлены вверх, их можно объединить в один участок строгого роста, даже если у них разные наклоны. Пример из A: между x=−5 и x=−4 значение возрастает с 1 до 4, затем от −4 до −3 — с 4 до 7. Вся ломаная на [−5;−3] строго возрастает. Напротив, один горизонтальный шаг разрушает строгое возрастание на более длинном отрезке. Так, на [−6;−3] график A не строго возрастает, поскольку на [−6;−5] неизменно равен единице.

Нельзя определять направление только по тому, положителен ли сам аргумент или значение функции. В B на участке [−9;−7] входы отрицательные и значения начинаются с −2, однако y увеличивается. У C на [−5;−3] значения становятся более отрицательными, что означает убывание: 0 больше −4. В обоих случаях требуется сравнить два значения в порядке увеличения x. Слово «отрицательное» описывает положение числа относительно нуля, но не направление графика.

Область определения тоже нельзя забывать. Модель C кончается при x=0. Даже если последняя часть горизонтальна, нельзя объявлять функцию постоянной на [−2;2]: значений при положительных x не задано. Аналогично в B значение для x=−10 нельзя достоверно восстановить экстраполяцией первого наклонного отрезка. Для такого предсказания требуется новое условие. Сначала отмечайте левую и правую границы области, затем описывайте возрастание, убывание и постоянство внутри неё.

Для быстрой самопроверки запишите последовательность изменений соседних значений A: −3, −2, 0, +3, +3, −2, −3, 0. Она указывает на два убывающих фрагмента, два участка постоянства и один непрерывный растущий фрагмент. Для B изменения: +2, 0, +3, −2, 0, +3; для C: −4, −4, +6, 0. Такая короткая запись хорошо помогает обнаруживать потерянные горизонтальные промежутки.