Определение зоны роста и убывания при наличии одинаковых значений функции: упражнения разной сложности, 8 класс

Ситуация и исходная таблица

Отсчёт времени ведётся в минутах после начала наблюдения. Для учебной модели договоримся, что соседние измеренные точки соединены отрезками: это не утверждение, что реальная температура всегда меняется идеально равномерно, а удобное правило для построения однозначного графика. Время рассматривается только на отрезке от 0 до 50 минут.

Посмотрите на три подряд одинаковых показания 19 °C в моменты 35, 40 и 45 минут. Это один горизонтальный участок длиной 10 минут. При этом показание 19 °C встречается и между другими измерениями: повторное значение само по себе ещё не образует горизонтальную часть графика.

Модель и первые вопросы

Постройте в тетради горизонтальную ось t от 0 до 50 с шагом 5, вертикальную — температуру от 16 до 23 с шагом 1. Для каждой пары соседних столбцов проверьте знак разности следующего значения и предыдущего. Положительный знак означает рост, отрицательный — спад, нуль — постоянство. Если соседние отрезки имеют одно направление, их можно объединить в более длинный участок.

1. № 1. Отметьте все временные промежутки, на которых температура строго повышалась.
2. № 2. Назовите участки строгого понижения температуры.
3. № 3. Укажите все максимальные участки постоянной температуры.
4. № 4. Равна ли температура в минуты 5 и 10? Следует ли отсюда постоянство между ними?

Задания на различение повторений и плато

Не торопитесь называть участок постоянным, увидев одинаковое число в двух удалённых точках. Убедитесь, что на всём соединяющем промежутке нет подъёма или спуска. Для середины прямолинейного участка значение находится как среднее арифметическое концов.

5. № 5. Равны ли значения в минуты 0 и, например, в неуказанный момент 2,5? Выполните вычисление.
6. № 6. Можно ли сказать, что если температура 19 °C была в минуты 35 и 45, она сначала упала, а затем выросла?
7. № 7. Сравните температуру в минуты 10 и 20. Была ли она постоянной на всём [10;20]?
8. № 8. Найдите температуру через 22,5 минуты.
9. № 9. В какие моменты по модели достигались 19 °C? Можно ли получить целый промежуток решений?

Контроль реальной ситуации

Для температурной модели единица аргумента — минута, единица функции — градус Цельсия. Неправильно писать «температура уменьшилась на −2»: изменение равно −2 °C, а словами — температура уменьшилась на 2 °C.

10. № 10. Сколько градусов составил рост от 45 до 50 мин, а сколько — спад от 30 до 35 мин?
11. № 11. Определите наибольшее и наименьшее значения модели и все промежутки их достижения.
12. № 12. Можно ли уверенно прогнозировать температуру через 55 мин только по последней паре точек? Объясните.

Ответы: рост, спад, постоянство

1. № 1. [0;5], [20;25], [45;50] мин. По линейным промежуткам 18→20, 17→21, 19→22.
2. № 2. [10;15] и [30;35] мин. Выходы падают 20→17 и 21→19.
3. № 3. [5;10], [15;20], [25;30], [35;45]. Значения соответственно 20, 17, 21 и 19 °C.
4. № 4. Оба показания 20 °C; постоянство между ними следует именно из правила соединять соседние измерения прямыми отрезками.

Форма плато важна: если температура 20 °C на [5;10], а спустя какое-то время снова 20 °C, это не один огромный горизонтальный промежуток. Между соответствующими моментами могут быть совсем другие показания.

Ключ к задачам о повторяющихся значениях

5. № 5. Нет: на [0;5] рост с 18 до 20, в середине 19 °C. Повторяющиеся значения в других столбцах не меняют этого.
6. № 6. Нет. Между 35 и 45 находятся горизонтальные отрезки: 19→19→19. Там температура постоянна.
7. № 7. 20 °C и 17 °C; не была. [10;15] — спад, [15;20] — постоянство.
8. № 8. От 20 до 25 мин температура растёт 17→21 равномерно; середина равна (17+21)/2=19 °C.
9. № 9. t=2,5; t=11⅔; t=22,5; и все t∈[35;45] мин. На [10;15] температура падает с 20 до 17: 20−(3/5)·(t−10)=19 ⇒ t=11⅔. Последний случай — горизонтальное плато.

В № 9 важно указать весь промежуток [35;45], а не только узлы 35, 40 и 45. Остальные решения — отдельные моменты t=2,5, t=11⅔ и t=22,5; среднее получено на убывающем отрезке [10;15]. Все значения следуют из линейной интерполяции.

Проверка разумности и итоговые ответы

10. № 10. С 19 до 22: +3 °C; с 21 до 19: −2 °C. Слова «рост» и «спад» относятся к изменению y.
11. № 11. Максимум 22 °C при 50 мин; минимум 17 °C на [15;20]. Узлы соединены линейно, поэтому иных экстремумов нет.
12. № 12. Нет. Модель задана лишь на [0;50]. Продолжение последнего наклона за пределы наблюдения — отдельная гипотеза, не следствие таблицы.

Главное наблюдение: равные значения температуры могут означать либо горизонтальный участок между соседними измерениями, либо возвращение к ранее встречавшемуся уровню после роста и спада. Опирайтесь на все промежуточные данные. В настоящей теплице измерения имеют погрешность, поэтому плавность линии между ними — упрощение модели, о котором следует говорить явно.

Для домашней работы можно построить собственную таблицу из 6–8 показаний с одним плато и с двумя одинаковыми несоседними значениями и объяснить, какие выводы уже следуют из графика, а какие требуют нового наблюдения.

Почему повторение числа не определяет направление

Показание 19 °C встречается на графике неоднократно, хотя температура не остаётся 19 °C все 50 минут. Горизонтальный участок возникает лишь там, где соседние точки имеют одинаковые ординаты и модель прямо велит соединять их отрезками. На наклонном участке это же значение может быть пройдено всего в один момент. Сравнивайте соседние пары и не объединяйте участки через смену направления.