Определённый интеграл многочлена на отрезке — задачи и ответы, 11 класс

Рабочие листы предназначены для 11 класса: три независимых варианта по пять интегралов можно распечатать отдельно. Смысл задачи — не просто найти первообразную, а правильно подставить пределы и выполнить вычитание. Интеграл может оказаться отрицательным: в этом случае речь идёт об алгебраическом интеграле, а не о геометрической площади. На каждую серию отведите 12–15 минут, итог проверьте по ключу после самостоятельной попытки.

Перед началом: два обязательных шага

Для многочлена f(x) = ax² + bx + c первообразную можно выбрать как F(x) = (a/3)x³ + (b/2)x² + cx. Постоянную C при вычислении определённого интеграла не пишут: она сократится в разности. Пример: ∫ от 0 до 2 (3x² + 1) dx = [x³ + x] от 0 до 2 = (8 + 2) − 0 = 10. Если пределы меняются местами, знак интеграла меняется. Не путайте номер варианта с границами интегрирования.

Вариант А — базовая скорость и точность

Укажите первообразную и численный ответ. Если на промежутке многочлен положителен, полученный интеграл совпадает с площадью под графиком, но проверять это здесь не требуется.

1. Вычислите ∫₀² (2x² + 1) dx. Решение: ___________________________
2. Вычислите ∫₀¹ (3x² + 2x + 1) dx. Решение: ___________________________
3. Вычислите ∫₁³ (x² − 2x + 3) dx. Решение: ___________________________
4. Вычислите ∫₁⁴ (4x + 2) dx. Решение: ___________________________
5. Вычислите ∫_-1¹ (3x² − 3x + 2) dx. Решение: ___________________________

Вариант Б — отрицательные границы и смена знака

В этом варианте есть симметричный промежуток. Перед вычислениями посмотрите, какие слагаемые нечётные, чтобы провести дополнительную проверку результата.

1. Вычислите ∫_-2² (x²) dx. Решение: ___________________________
2. Вычислите ∫_-1² (2x² + 3x − 1) dx. Решение: ___________________________
3. Вычислите ∫₀³ (5x − 4) dx. Решение: ___________________________
4. Вычислите ∫₁² (4x² + 3) dx. Решение: ___________________________
5. Вычислите ∫₀² (−x² + 4x) dx. Решение: ___________________________

Вариант В — внимательность к коэффициентам

Вариант объединяет несколько типов коэффициентов. Оставьте все промежуточные дроби точными, не округляйте их до десятичных.

1. Вычислите ∫₀³ (2x² − 6x + 3) dx. Решение: ___________________________
2. Вычислите ∫_-1² (3x² − 2) dx. Решение: ___________________________
3. Вычислите ∫₂⁴ (x² + x + 1) dx. Решение: ___________________________
4. Вычислите ∫_-1³ (−3x + 5) dx. Решение: ___________________________
5. Вычислите ∫_-2¹ (3x² − 6x + 5) dx. Решение: ___________________________

Ключ учителя — три варианта отдельно

Ответы к варианту А

1. 22/3. Первообразная: F(x) = (2/3)x³ + x. По формуле Ньютона — Лейбница F(0) и F(2) подставляем в порядке F(2) − F(0); результат 22/3.
2. 3. Первообразная: F(x) = x³ + x² + x. По формуле Ньютона — Лейбница F(0) и F(1) подставляем в порядке F(1) − F(0); результат 3.
3. 20/3. Первообразная: F(x) = (1/3)x³ − x² + 3x. По формуле Ньютона — Лейбница F(1) и F(3) подставляем в порядке F(3) − F(1); результат 20/3.
4. 36. Первообразная: F(x) = 2x² + 2x. По формуле Ньютона — Лейбница F(1) и F(4) подставляем в порядке F(4) − F(1); результат 36.
5. 6. Первообразная: F(x) = x³ − (3/2)x² + 2x. По формуле Ньютона — Лейбница F(-1) и F(1) подставляем в порядке F(1) − F(-1); результат 6.

Ответы к варианту Б

1. 16/3. Первообразная: F(x) = (1/3)x³. По формуле Ньютона — Лейбница F(-2) и F(2) подставляем в порядке F(2) − F(-2); результат 16/3.
2. 15/2. Первообразная: F(x) = (2/3)x³ + (3/2)x² − x. По формуле Ньютона — Лейбница F(-1) и F(2) подставляем в порядке F(2) − F(-1); результат 15/2.
3. 21/2. Первообразная: F(x) = (5/2)x² − 4x. По формуле Ньютона — Лейбница F(0) и F(3) подставляем в порядке F(3) − F(0); результат 21/2.
4. 37/3. Первообразная: F(x) = (4/3)x³ + 3x. По формуле Ньютона — Лейбница F(1) и F(2) подставляем в порядке F(2) − F(1); результат 37/3.
5. 16/3. Первообразная: F(x) = −(1/3)x³ + 2x². По формуле Ньютона — Лейбница F(0) и F(2) подставляем в порядке F(2) − F(0); результат 16/3.

Ответы к варианту В

1. 0. Первообразная: F(x) = (2/3)x³ − 3x² + 3x. По формуле Ньютона — Лейбница F(0) и F(3) подставляем в порядке F(3) − F(0); результат 0.
2. 3. Первообразная: F(x) = x³ − 2x. По формуле Ньютона — Лейбница F(-1) и F(2) подставляем в порядке F(2) − F(-1); результат 3.
3. 80/3. Первообразная: F(x) = (1/3)x³ + (1/2)x² + x. По формуле Ньютона — Лейбница F(2) и F(4) подставляем в порядке F(4) − F(2); результат 80/3.
4. 8. Первообразная: F(x) = −(3/2)x² + 5x. По формуле Ньютона — Лейбница F(-1) и F(3) подставляем в порядке F(3) − F(-1); результат 8.
5. 33. Первообразная: F(x) = x³ − 3x² + 5x. По формуле Ньютона — Лейбница F(-2) и F(1) подставляем в порядке F(1) − F(-2); результат 33.

Проверка без подглядывания в готовый ответ

Проверка № 1: возьмите производную своей первообразной и восстановите подынтегральный многочлен. Проверка № 2: для коротких промежутков оцените величину — умножьте приблизительное среднее значение функции на длину промежутка; это не замена точному расчёту, но позволяет заметить ошибку в десятки раз. Проверка № 3: подставьте границы в обратном порядке; итог должен поменять знак.

Если вы ошиблись только в записи первообразной, повторите правила ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) при натуральном n и ∫k dx = kx. Если первообразная верная, а конечное значение неверно, отрабатывайте вычитание F(b) − F(a), особенно при отрицательном нижнем пределе. Такой разбор полезнее механического повторения ещё десятка одинаковых интегралов.