Ось симметрии параболы по коэффициентам — упражнения для печати, 9 класс

9 класс · задания для печати · 18 пунктов. Главная задача — находить ось симметрии параболы y = ax² + bx + c по коэффициентам. Это прямая, а не точка; её уравнение всегда имеет вид x = некоторое число. Для тренировки достаточно знать формулу x = −b/(2a), где a ≠ 0. Значение c не влияет на положение оси.

Практическая ситуация: ось арки и середина расстояния

У симметричной арки две точки на одинаковой высоте находятся по разные стороны от вертикальной линии, проходящей через вершину. Если одна точка имеет абсциссу 1, другая — 7, то ось проходит посередине: x = (1 + 7)/2 = 4. Для квадратичной функции можно обойтись без поиска этих точек: x = −b/(2a). Это полезно, когда известна только формула, а рисунка нет.

Короткий блок: найдите ось по коэффициентам (1–6)

1. Найдите уравнение оси симметрии параболы y = x² − 8x + 3. Выпишите a и b отдельно.
2. Найдите уравнение оси симметрии параболы y = 2x² + 12x + 1. Выпишите a и b отдельно.
3. Найдите уравнение оси симметрии параболы y = −x² + 10x + 2. Выпишите a и b отдельно.
4. Найдите уравнение оси симметрии параболы y = 3x² − 6x + 5. Выпишите a и b отдельно.
5. Найдите уравнение оси симметрии параболы y = -2x² − 16x + 4. Выпишите a и b отдельно.
6. Найдите уравнение оси симметрии параболы y = 4x² − 7. Выпишите a и b отдельно.

Заметьте, что свободный член здесь каждый раз различается. Он показывает высоту пересечения графика с осью Oy, но не сдвигает линию симметрии влево или вправо. Если ученик прибавил c к формуле оси, он смешал два независимых свойства квадратичной функции.

Перенос навыка: восстановите парную точку (7–12)

7. Для y = x² − 6x известна абсцисса точки x = 1. Найдите абсциссу другой точки графика с той же ординатой. Укажите ось симметрии.
8. Для y = 2x² + 8x + 3 известна абсцисса точки x = 0. Найдите абсциссу другой точки графика с той же ординатой. Укажите ось симметрии.
9. Для y = −x² − 4x + 5 известна абсцисса точки x = -1. Найдите абсциссу другой точки графика с той же ординатой. Укажите ось симметрии.
10. Для y = -2x² + 12x + 4 известна абсцисса точки x = 1. Найдите абсциссу другой точки графика с той же ординатой. Укажите ось симметрии.
11. Для y = 3x² − 18x + 1 известна абсцисса точки x = 2. Найдите абсциссу другой точки графика с той же ординатой. Укажите ось симметрии.
12. Для y = -3x² − 12x известна абсцисса точки x = -4. Найдите абсциссу другой точки графика с той же ординатой. Укажите ось симметрии.

Проверка для каждого ответа очень проста: найдите середину двух абсцисс. Она должна совпасть с x₀. Можно и подставить обе абсциссы в формулу y: ординаты обязаны совпасть. Этот приём особенно удобен для задания 10, где ось может проходить между числами, одно из которых отрицательное.

Модель и интерпретация: задачи 13–18

13. Арочный проход имеет условный профиль h(x) = −x² + 6x + 2, где x — горизонтальное расстояние в метрах. По какой вертикальной прямой располагается центр симметрии арки?
14. Высота макета фонтана задана h(x) = −(1/2)x² + 4x + 1. На каком расстоянии от начала координат проходит вертикальная ось симметрии струи?
15. Для демонстрационной модели полёта h(t) = −5t² + 20t на интервале 0 ≤ t ≤ 4. Назовите момент времени, равноудалённый от двух концов интервала по симметрии графика.
16. Стоимость условного процесса задана C(n) = 2n² − 12n + 50. При каком действительном n проходит ось симметрии графика?
17. Прибыль в учебной модели P(q) = −2q² + 24q − 10. Какое значение q делит её параболу на зеркальные половины?
18. Эскиз декоративной арки описывает y = −x² + 10x − 16. Найдите ось симметрии и абсциссы двух симметричных точек, если одна из них имеет x = 2.

Проверяем, что модель описывает нужную ситуацию

Задачи про арку, фонтан, высоту и прибыль — учебные модели, а не инженерные расчёты реальных сооружений и экономические прогнозы. Сначала вычисляют ось в рамках формулы, затем интерпретируют единицы: в задаче о времени значение на оси t измеряется секундами, а для длины — метрами. Если практический параметр допустим только на отрезке, следует проверить, что найденное значение лежит внутри этого промежутка.

Для проверки парных точек не нужно искать вершину целиком. Пусть ось x = 3 и одна точка находится при x = 1; зеркальная расположена при x = 5, потому что оба числа удалены от 3 на 2. Формула второй абсциссы 2x₀ − x использует только симметрию и подходит к любой функции y = ax² + bx + c с a ≠ 0.

Три типичные ошибки: записать координаты вершины вместо прямой x = x₀; потерять знак «минус» перед b; прочитать знаменатель −b/2a как (−b/2)·a. Рекомендуемое оформление: сначала написать x₀ = −b/(2a) со скобками, затем отдельной строкой x = найденное число. Такая запись предотвращает двусмысленность.

Ответы и пояснения для проверки

Сначала выполните работу самостоятельно. При печати только для ученика не включайте страницы с ключом. Ниже ответы в той же нумерации.

Ответы к коэффициентам

1. a = 1, b = -8; x = −(-8)/(2·(1)) = 4.
2. a = 2, b = 12; x = −(12)/(2·(2)) = -3.
3. a = -1, b = 10; x = −(10)/(2·(-1)) = 5.
4. a = 3, b = -6; x = −(-6)/(2·(3)) = 1.
5. a = -2, b = -16; x = −(-16)/(2·(-2)) = -4.
6. a = 4, b = 0; x = −(0)/(2·(4)) = 0.

Ответы к симметричным точкам

7. Ось x = 3; парная абсцисса x = 2·(3) − (1) = 5.
8. Ось x = -2; парная абсцисса x = 2·(-2) − (0) = -4.
9. Ось x = -2; парная абсцисса x = 2·(-2) − (-1) = -3.
10. Ось x = 3; парная абсцисса x = 2·(3) − (1) = 5.
11. Ось x = 3; парная абсцисса x = 2·(3) − (2) = 4.
12. Ось x = -2; парная абсцисса x = 2·(-2) − (-4) = 0.

Ответы к моделям

13. x = 3 м. Это ось симметрии профиля; коэффициент при x² отрицателен, вершина верхняя.
14. x = 4 м: −b/(2a) = −4/(−1) = 4.
15. t = 2 с. Симметрия графика по вертикальной прямой t = 2.
16. n = 3. Значение n здесь берётся как непрерывный параметр модели; для целых n = 3 также допустимо.
17. q = 6. Если q — количество предметов, важна допустимая область модели; сам коэффициент оси равен 6.
18. Ось x = 5, вторая абсцисса 8: числа 2 и 8 равноудалены от 5.

Самостоятельный контроль. За каждый из 18 пунктов — один балл, причём в 7–12 балл ставится только если указаны и ось, и парная абсцисса. Для уверенного результата достаточно 15–18 баллов; при 11–14 повторите подстановку коэффициентов; ниже 11 вернитесь к правилу нахождения середины двух чисел. В качестве последней проверки возьмите любой найденный x₀ и вычислите f(x₀ − 1) и f(x₀ + 1): значения должны совпасть.