Ошибки при сокращении суммы в алгебраической дроби: самостоятельная работа для 8 класса

Математика · 8 класс. Короткая диагностика: 14 примеров на различие между суммой и произведением. Обоснуйте каждое сокращение и запишите запрещённые значения. Имя: __________________________ Дата: ______________

Один частный случай — и обманчивое «сокращение»

Запись (x + 3)/x нельзя сократить по x так, чтобы получить 3. Причина: x в числителе — слагаемое, а не множитель всего числителя. При x = 2 исходная дробь равна 5/2, а «3» не равняется 5/2. Правильное преобразование при x ≠ 0: (x + 3)/x = 1 + 3/x.

Сокращение допустимо, если в числителе и знаменателе имеется общий ненулевой множитель. Например, x(x + 3)/x = x + 3 при x ≠ 0. И даже после сокращения ограничение x ≠ 0 остаётся: равенство относится к выражению в исходной области определения.

Три вопроса до любого сокращения

Самостоятельная работа: исправьте или подтвердите

1. Упростите (x + 5)/x. Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

2. Упростите (a + b)/a. Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

3. Упростите (x² + 3x)/x. Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

4. Упростите (x² − 9)/(x − 3). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

5. Упростите (2x + 6)/(2x). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

6. Упростите (x² + 4x + 4)/(x + 2). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

7. Упростите (x + 5)/(x + 2). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

8. Упростите (3x + 6)/(x + 2). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

9. Упростите (x² + 5)/(x + 5). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

10. Упростите (x² − 4)/(x + 2). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

11. Упростите (x + 2)/(x + 2). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

12. Упростите (x² + 2x + 1)/(x + 1). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

13. Упростите (5x + 10)/(5x). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

14. Упростите (x² + 2x)/(x + 2). Можно ли сокращать слагаемые? Укажите ОДЗ. Ответ/ход: ______________________________________

Лист самоконтроля

После решения пометьте у каждого пункта «М» (был общий множитель) или «С» (только сумма, нельзя удалять отдельный член). Особенно внимательно проверьте № 1, 2, 5, 7, 9 и 13. Если сокращение кажется сомнительным, подставьте, например, x = 1 или x = 2, когда эти значения разрешены, и сравните обе дроби.

Ключ для учителя и самопроверки

Сначала выполните ученическую часть без подсказок. Ниже приведены ответы и короткие обоснования; при печати для школьников распечатывайте страницы документа до раздела с ключом. Не выдавайте ученикам ключ одновременно с карточкой.

1. 1 + 5/x; x ≠ 0. — Нельзя зачёркивать x внутри суммы; можно разбить на две дроби.

2. 1 + b/a; a ≠ 0. — Числитель — сумма; на a делятся оба слагаемых.

3. x + 3; x ≠ 0. — В числителе выносится общий множитель x.

4. x + 3; x ≠ 3. — Разность квадратов (x − 3)(x + 3); ограничение сохраняется.

5. 1 + 3/x; x ≠ 0. — Разделяем числитель или выносим 2: (x + 3)/x.

6. x + 2; x ≠ −2. — Квадрат суммы (x + 2)².

7. 1 + 3/(x + 2); x ≠ −2. — Разложение числителя: (x + 2) + 3.

8. 3; x ≠ −2. — Числитель равен 3(x + 2).

9. без сокращения; x ≠ −5. — Общего множителя (x + 5) нет; подстановка x = −5 в числитель даёт 30.

10. x − 2; x ≠ −2. — Разность квадратов (x − 2)(x + 2).

11. 1; x ≠ −2. — Равные числитель и знаменатель, кроме точки x = −2.

12. x + 1; x ≠ −1. — Числитель (x + 1)².

13. 1 + 2/x; x ≠ 0. — Сокращаем общий множитель 5, но не слагаемое x.

14. x; x ≠ −2. — Числитель x(x + 2).

Как проверить себя

В правильном решении указаны: разложение числителя на множители там, где это возможно; исходное ограничение знаменателя; конечное выражение. Если при подстановке допустимого числа выражения дают разные значения, «сокращение» ошибочно.

Материал рассчитан на 8 класс. В школах России и Казахстана последовательность тем может различаться; учитель выбирает упражнения после изучения соответствующих правил.