Отбор чисел по двум признакам для трёх последовательных целых чисел — упражнения разной сложности, 5 класс

Цель карточки. Проверять два признака у каждого из трёх последовательных натуральных чисел и доказывать, сколько подходящих чисел находится в одной тройке.

Работаем с тройкой вида n, n + 1, n + 2. Она содержит именно три последовательных натуральных числа; пропускать число посередине нельзя. Нельзя делать вывод по одному числу обо всей тройке: оба признака проверяются отдельно у каждого кандидата.

Лёгкий старт: в какой тройке есть число с двумя признаками?

В заданиях 1–5 признак A — «чётное», признак B — «кратно 3». Выпишите все числа тройки, удовлетворяющие обоим признакам одновременно. Если таких нет, пишите «нет». Обратите внимание: число, которое подходит только по одному признаку, не засчитывается.

1. № 1. 34, 35, 36: сколько чисел одновременно чётные и кратны 3?
2. № 2. 37, 38, 39: сколько чисел одновременно чётные и кратны 3?
3. № 3. 40, 41, 42: сколько чисел одновременно чётные и кратны 3?
4. № 4. 43, 44, 45: сколько чисел одновременно чётные и кратны 3?
5. № 5. 49, 50, 51: сколько чисел одновременно чётные и кратны 3?

Развилка: «ошибка или верно»

В заданиях 6–9 найдите ошибку в рассуждении либо подтвердите его двумя проверками. Не заменяйте «выполняются два признака» фразой «хотя бы один признак».

1. № 6. В тройке 22, 23, 24 только 24 чётное и кратно 3.
2. № 7. В тройке 26, 27, 28 число 27 подходит: оно нечётное и кратно 3.
3. № 8. Если тройка 53, 54, 55, число 54 выполняет оба признака.
4. № 9. В каждой тройке подряд обязательно есть число, кратное 6.

Ступень 2. Две характеристики у каждого числа

В следующих заданиях уже нельзя пользоваться одним общим правилом «ищи кратное 6». Признаки меняются. Найдите в указанной тройке числа, для которых оба признака верны; там, где требуется, назовите число, для которого верен ровно один признак.

Ступень 3. Можно ли утверждать «для любой тройки»?

1. № 17. Верно ли, что среди любых трёх последовательных натуральных чисел ровно одно кратно 3? Почему?
2. № 18. Верно ли, что среди любых трёх последовательных натуральных чисел ровно два чётные? Обоснуйте.
3. № 19. Верно ли, что среди любых трёх последовательных натуральных чисел не бывает двух кратных 4? Обоснуйте.
4. № 20. Верно ли, что в любой тройке есть число, одновременно кратное 2 и 3? Покажите доказательство или контрпример.

Подробный ключ: от отдельной проверки к общему правилу

№ 1. 36. Число должно делиться и на 2, и на 3, значит, быть кратным 6. Проверка трёх чисел 34, 35, 36 даёт 1 подходящих.

№ 2. нет подходящих чисел. Число должно делиться и на 2, и на 3, значит, быть кратным 6. Проверка трёх чисел 37, 38, 39 даёт 0 подходящих.

№ 3. 42. Число должно делиться и на 2, и на 3, значит, быть кратным 6. Проверка трёх чисел 40, 41, 42 даёт 1 подходящих.

№ 4. нет подходящих чисел. Число должно делиться и на 2, и на 3, значит, быть кратным 6. Проверка трёх чисел 43, 44, 45 даёт 0 подходящих.

№ 5. нет подходящих чисел. Число должно делиться и на 2, и на 3, значит, быть кратным 6. Проверка трёх чисел 49, 50, 51 даёт 0 подходящих.

№ 6. Верно. 24 делится и на 2, и на 3; 22 чётное, но на 3 не делится; 23 нечётное.

№ 7. Ошибка. В задании по-прежнему требуется чётность И кратность 3. Число 27 нечётное; подходящих в тройке нет.

№ 8. Верно. 54 = 2·27 = 3·18, два условия верны.

№ 9. Ошибка. Контрпример: 31, 32, 33; среди этих чисел нет кратных 6.

№ 10. Ответ: нет подходящих чисел. Проверка: 61: A — нет, B — нет; 62: A — да, B — нет; 63: A — нет, B — нет. Результат определяем по требованию «оба», а не только по одному из двух признаков.

№ 11. Ответ: 73. Проверка: 72: A — нет, B — нет; 73: A — да, B — да; 74: A — нет, B — да. Результат определяем по требованию «оба», а не только по одному из двух признаков.

№ 12. Ответ: нет подходящих чисел. Проверка: 85: A — нет, B — да; 86: A — нет, B — да; 87: A — да, B — нет. Результат определяем по требованию «оба», а не только по одному из двух признаков.

№ 13. Ответ: 96. Проверка: 94: A — нет, B — нет; 95: A — нет, B — да; 96: A — да, B — да. Результат определяем по требованию «оба», а не только по одному из двух признаков.

№ 14. Ответ: 104, 105. Проверка: 103: A — нет, B — нет; 104: A — нет, B — да; 105: A — да, B — нет. Результат определяем по требованию «ровно один», а не только по одному из двух признаков.

№ 15. Ответ: 118. Проверка: 116: A — нет, B — нет; 117: A — да, B — да; 118: A — да, B — нет. Результат определяем по требованию «ровно один», а не только по одному из двух признаков.

№ 16. Ответ: 129. Проверка: 127: A — нет, B — нет; 128: A — да, B — нет; 129: A — да, B — да. Результат определяем по требованию «оба», а не только по одному из двух признаков.

№ 17. Верно. При делении трёх последовательных чисел на 3 остатки всегда встречаются по одному разу: 0, 1, 2 в некотором порядке. Поэтому ровно одно число делится на 3 без остатка.

№ 18. Неверно. В тройке 57, 58, 59 чётное только 58. В тройке 58, 59, 60 чётные два числа. Количество зависит от чётности первого члена.

№ 19. Верно. Разность двух разных положительных чисел, кратных 4, составляет не меньше 4. А расстояние между крайними числами тройки — 2. Двух кратных 4 в одной тройке быть не может.

№ 20. Неверно. Тройка 67, 68, 69 не содержит кратного 6. Наличие в любой тройке числа, кратного 3, ещё не доказывает, что это число чётное. Для опровержения всеобщего утверждения достаточно одной конкретной тройки.

Как исправлять ошибки на маршруте

Если ученик выбирает 27 только потому, что оно делится на 3, попросите проверить второй признак — чётность. Если он рассматривает 22 и 24 как «одинаково подходящие», напомните различие между условием «оба» и условием «ровно один». Если он делает вывод «всегда» по одной тройке, предложите сдвинуть её начало на единицу: иногда это сразу даёт контрпример.

Самопроверка занимает три шага: сначала выписать n, n + 1, n + 2 без пропусков; затем поставить каждому числу два независимых «да/нет»; только после этого выполнить нужное логическое действие. Не меняйте требования внутри одного задания: совпадение двух признаков и выполнение ровно одного признака — разные ответы.