Отбор чисел по двум признакам по условию «ровно одно из двух»: тренажёр для 5 класса

Цель карточки. Находить натуральные числа, для которых выполнен ровно один из двух числовых признаков; обосновывать, почему включены одни числа и исключены другие.

Тезис для проверки: «Если число делится на 2 или делится на 3, его всегда следует выбрать». Тезис неверен для условия «ровно одно из двух». Число 18 делится и на 2, и на 3, поэтому выбрать его нельзя. Число 14 делится на 2, но не делится на 3: оно подходит.

Как доказать правильность отбора

Обозначим первым признаком A делимость на одно заданное число, вторым B — делимость на другое. Для каждого кандидата отдельно выясните, выполняется ли A и выполняется ли B. Нужны случаи «A — да, B — нет» или «A — нет, B — да». Если оба ответа одинаковы, число не подходит.

Например, среди натуральных чисел от 1 до 12 для признаков «кратно 2» и «кратно 3» получаем 2, 3, 4, 8, 9, 10. Числа 6 и 12 исключены, потому что выполняют сразу оба условия. Число 1 не подходит, потому что не выполняет ни одного. Проверка четырёх случаев доказывает, что пятый вариант отсутствует.

Тематический тренажёр: 12 наборов с двумя признаками

Во всех заданиях рассматриваются только натуральные числа, включая обе границы. Запишите все подходящие числа по возрастанию. Обозначение «кратно d» означает, что число делится на d без остатка. После каждого ответа объясните, какие кандидаты были исключены из-за выполнения обоих признаков.

Три задания на рассуждение

1. № 13. Даны признаки «кратно 4» и «кратно 8». Можно ли выбрать 32? А 20? Объясните оба решения без длинного перебора.
2. № 14. Ученик взял все числа от 1 до 30, кратные 2, а затем добавил все числа, кратные 3. Что ему нужно исправить, чтобы выполнить требование «ровно одно из двух»?
3. № 15. Докажите, что среди натуральных чисел от 1 до 40 по признакам «кратно 2» и «кратно 4» ровно десять подходящих. Попробуйте получить число 10 без выписывания всего списка.

Решения и проверка полноты

№ 1. 14, 15, 16, 20, 21, 22, 26, 27, 28 (всего 9). Только A выполняется у 14, 16, 20, 22, 26, 28; только B — у 15, 21, 27. Оба признака выполняются у 18, 24; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 2. 18, 22, 24, 25, 26, 28, 32, 34, 35, 36, 38, 42 (всего 12). Только A выполняется у 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42; только B — у 25, 35. Оба признака выполняются у 20, 30, 40; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 3. 21, 27, 28, 30, 32, 33, 39, 40, 42, 44, 45 (всего 11). Только A выполняется у 21, 27, 30, 33, 39, 42, 45; только B — у 28, 32, 40, 44. Оба признака выполняются у 24, 36, 48; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 4. 16, 18, 20, 28, 30, 32, 40 (всего 7). Только A выполняется у 16, 20, 28, 32, 40; только B — у 18, 30. Оба признака выполняются у 24, 36; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 5. 40, 42, 45, 49, 50, 55, 56, 60 (всего 8). Только A выполняется у 40, 45, 50, 55, 60; только B — у 42, 49, 56. Оба признака выполняются у 35; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 6. 22, 24, 26, 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 49, 50, 52 (всего 16). Только A выполняется у 22, 24, 26, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 50, 52; только B — у 35, 49. Оба признака выполняются у 28, 42; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 7. 42, 48, 50, 51, 54, 55, 57, 63, 65, 66, 69, 70, 72, 78 (всего 14). Только A выполняется у 42, 48, 51, 54, 57, 63, 66, 69, 72, 78; только B — у 50, 55, 65, 70. Оба признака выполняются у 45, 60, 75; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 8. 27, 28, 32, 40, 44, 45, 48, 52, 54, 56 (всего 10). Только A выполняется у 28, 32, 40, 44, 48, 52, 56; только B — у 27, 45, 54. Оба признака выполняются у 36; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 9. 56, 60, 64, 66, 78, 80, 84, 88, 90 (всего 9). Только A выполняется у 60, 66, 78, 84, 90; только B — у 56, 64, 80, 88. Оба признака выполняются у 72; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 10. 30, 33, 39, 42, 48, 51, 57, 60 (всего 8). Только A выполняется у 30, 33, 39, 42, 48, 51, 57, 60; только B — у нет подходящих чисел. Оба признака выполняются у 27, 36, 45, 54, 63; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 11. 64, 70, 72, 88, 90, 96, 100 (всего 7). Только A выполняется у 64, 72, 88, 96; только B — у 70, 90, 100. Оба признака выполняются у 80; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 12. 35, 45, 55, 65 (всего 4). Только A выполняется у 35, 45, 55, 65; только B — у нет подходящих чисел. Оба признака выполняются у 30, 40, 50, 60, 70; эти числа исключаем. Поэтому список полон: каждая из двух допустимых групп проверена отдельно.

№ 13. 32 делится и на 4, и на 8, значит, не подходит. 20 делится на 4, но не делится на 8, значит, подходит. Условия «кратно 4» и «кратно 8» не независимы: любое число, кратное 8, автоматически кратно 4.

№ 14. Надо удалить числа, которые одновременно кратны 2 и 3, то есть кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30. Простое объединение списков ошибочно: оно разрешает оба признака сразу. Числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, также не добавляем.

№ 15. По признакам «кратно 2» и «кратно 4» число с ровно одним свойством обязано делиться на 2, но не на 4. В промежутке от 1 до 40 есть 20 чётных чисел и 10 кратных 4. Разность 20 − 10 = 10. Это подтверждается списком 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38.

Как объяснить решение учителю

Не достаточно написать «подходит, потому что чётное»: нужно назвать и второй признак. Например, фраза «число 26 чётное, а на 3 без остатка не делится» подтверждает именно ровно одно условие. Если в ответе находится число, кратное обоим делителям, покажите обе проверки делением и зачеркните его. Если ребёнок забыл хотя бы одно число, удобнее заново составить два непересекающихся списка «только A» и «только B», чем перепроверять все числа по очереди.

Для самопроверки полезно проверить не только каждое выбранное число, но и все числа, кратные обоим делителям: их часто добавляют по ошибке. Например, при делителях 4 и 6 каждое число, кратное 12, выполняет оба признака; следовательно, оно должно быть зачёркнуто. Этот короткий приём экономит время без потери точности.