Отбор чисел по двум признакам при ограничениях «не больше» и «не меньше» — диагностика ошибок, 5 класс

Пять чужих решений: найдите и объясните ошибки

В этой работе два обязательных числовых признака — «не меньше L» и «не больше U». Они должны выполняться одновременно. Слова «не меньше» включают равенство L, а «не больше» включают равенство U. На числовом луче это замкнутый промежуток [L; U], если L ≤ U.

Ошибочное рассуждение: «не меньше 12 и не больше 15» означает 13 и 14. На самом деле допустимы 12, 13, 14, 15. Два крайних числа подходят, так как «не меньше» и «не больше» разрешают равенство. В следующих пяти карточках исправьте чужой список; если условия несовместимы, объясните почему.

1. Нужно выбрать натуральные числа не меньше 12 и не больше 18. Ученик записал: 13, 14, 15, 16, 17. Укажите ошибку и правильный ответ.
2. Нужно выбрать натуральные числа не меньше 25 и не больше 29. Ученик записал: 25, 26, 27, 28, 29, 30. Укажите ошибку и правильный ответ.
3. Нужно выбрать натуральные числа не меньше 31 и не больше 35. Ученик записал: 30, 31, 32, 33, 34, 35. Укажите ошибку и правильный ответ.
4. Нужно выбрать натуральные числа не меньше 46 и не больше 49. Ученик записал: 47, 48, 49. Укажите ошибку и правильный ответ.
5. Нужно выбрать натуральные числа не меньше 57 и не больше 56. Ученик записал: 56, 57. Укажите ошибку и правильный ответ.

Закрепление: десять разных способов отбора

Теперь решайте без готового ученического ответа. Где-то нужно перечислить все натуральные числа, где-то выбрать значения только из заданного списка, подсчитать количество или указать крайние значения. Не подменяйте слова «не больше» строгим знаком «меньше».

6. Выберите подходящие числа из списка 8, 9, 12, 15, 16, 18, 19, 20, если число должно быть не меньше 12 и не больше 18.
7. Найдите все натуральные числа, которые не меньше 38 и не больше 42.
8. Найдите количество натуральных чисел, не меньших 73 и не больших 80.
9. Не меньше 64 и не больше 64. Укажите все подходящие натуральные числа.
10. Число должно быть не меньше 95, но не больше 92. Существует ли оно?
11. В наборе 44, 46, 48, 50, 52, 54 найдите числа не больше 51 и не меньше 47.
12. Найдите самое маленькое и самое большое натуральные числа, которые не меньше 116 и не больше 123.
13. Среди чисел 5, 6, 7, 8, 9, 10 выберите те, которые не меньше 7 и не больше 7.
14. Укажите все двузначные числа, которые не меньше 97 и не больше 103.
15. Перечислите чётные числа из списка 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, которые не меньше 23 и не больше 26.

Ключ с разбором границ

1. Ошибка: не включили обе границы. Верный перечень: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Проверяем каждое n двумя сравнениями n ≥ 12 и n ≤ 18.
2. Ошибка: включили число 30, которое больше верхней границы. Верный перечень: 25, 26, 27, 28, 29. Проверяем каждое n двумя сравнениями n ≥ 25 и n ≤ 29.
3. Ошибка: включили число 30, хотя оно меньше нижней границы. Верный перечень: 31, 32, 33, 34, 35. Проверяем каждое n двумя сравнениями n ≥ 31 и n ≤ 35.
4. Ошибка: потеряли нижнюю допустимую границу 46. Верный перечень: 46, 47, 48, 49. Проверяем каждое n двумя сравнениями n ≥ 46 и n ≤ 49.
5. Ошибка: не заметили противоречие: нижняя граница больше верхней. Верный перечень: нет ни одного числа. Проверяем каждое n двумя сравнениями n ≥ 57 и n ≤ 56.
6. Ответ: 12, 15, 16, 18. Это пересечение списка с отрезком от 12 до 18.
7. Ответ: 38, 39, 40, 41, 42. Обратите внимание: 38 и 42 включаются.
8. Ответ: 8 чисел (73–80 включительно). Для подсчёта используйте 80 − 73 + 1.
9. Ответ: 64. При совпадении границ подходит ровно одно число.
10. Ответ: нет подходящих чисел. Противоречивые границы: минимальное допустимое больше максимального.
11. Ответ: 48, 50. Порядок словесных ограничений не влияет на пересечение.
12. Ответ: 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123. Минимум 116, максимум 123.
13. Ответ: 7. При равных ограничениях остаётся только 7.
14. Ответ: 97, 98, 99. Вторая проверка «двузначность» сужает до 99.
15. Ответ: 24, 26. Дополнительный фильтр чётности применяется только после двух ограничений.

Контроль: почему одно неравенство не заменяет два

Число 87 выполняет условие «не меньше 83», но не обязательно выполняет условие «не больше 85». Проверка только одного края создаёт ложные ответы. Точно так же число 82 не превышает 85, но ниже разрешённого минимума 83. Верный набор — 83, 84, 85.

Способ самопроверки: для каждого выбранного n напишите сразу два коротких сравнения, например 83 ≤ 84 и 84 ≤ 85. Если среди предложенных чисел границ нет, проверяйте только реально предложенные значения. Если нижний предел больше верхнего — совместных решений нет, даже если каждое из отдельных неравенств само по себе выполнимо.

Эти карточки проверяют точность чтения ограничений. Задание на чётность в конце служит дополнительным фильтром, а не главной темой: сначала верно определите закрытый промежуток, затем примените добавленное условие.