Оценка квадратного корня между соседними целыми: задания с ответами для 8 класса

Математика · 8 класс. Практическая работа по оценке квадратного корня: два разобранных примера и 18 заданий на соседние целые числа без калькулятора. Имя: __________________________ Дата: ______________

Короткое правило: сравнивать нужно квадраты

Если n² < a < (n + 1)², то n < √a < n + 1, где n — неотрицательное целое. Например, 49 < 58 < 64, значит 7 < √58 < 8. Здесь квадратный корень остаётся символом; вычислять его десятичное приближение для установления границ не требуется.

Ещё один разобранный пример: осторожно с границей

Для √81 ближайший квадрат найден точно: √81 = 9. Нельзя утверждать 9 < √81 < 10, потому что 9 не меньше 9. Если число под корнем является полным квадратом, ответ — точное целое значение, а не строгое двойное неравенство. Отдельно проверьте: число под корнем должно быть неотрицательным.

Самостоятельный тренажёр: укажите соседние целые

1. Между какими двумя соседними целыми расположен √2? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

2. Между какими двумя соседними целыми расположен √5? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

3. Между какими двумя соседними целыми расположен √8? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

4. Между какими двумя соседними целыми расположен √10? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

5. Между какими двумя соседними целыми расположен √17? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

6. Между какими двумя соседними целыми расположен √23? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

7. Между какими двумя соседними целыми расположен √28? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

8. Между какими двумя соседними целыми расположен √35? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

9. Между какими двумя соседними целыми расположен √48? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

10. Между какими двумя соседними целыми расположен √63? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

11. Между какими двумя соседними целыми расположен √80? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

12. Между какими двумя соседними целыми расположен √99? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

13. Между какими двумя соседними целыми расположен √120? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

14. Между какими двумя соседними целыми расположен √150? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

15. Между какими двумя соседними целыми расположен √168? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

16. Между какими двумя соседними целыми расположен √226? Запишите двойное неравенство. Ответ/ход: ______________________________________

Контрольные вопросы: когда строгая оценка не нужна

17. Найдите √121. Можно ли написать 11 < √121 < 12? Ответ/ход: ______________________________________

18. Укажите, между какими соседними целыми лежит √0, и обоснуйте ответ. Ответ/ход: ______________________________________

Три проверки, которые делают оценку надёжной

Сначала найдите полный квадрат снизу. Например, для 120 подходит 100 = 10². Затем найдите следующий квадрат 121 = 11². Итак, 10 < √120 < 11; число 120 значительно ближе к 121, чем к 100, но в этом упражнении не требуется вычислять десятичное значение корня. Важна гарантированная пара соседних целых чисел, а не угадывание приблизительного ответа.

Если вы сомневаетесь, можно вести маленькую проверочную таблицу: 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100, 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196. Она позволяет быстро решать большинство карточек без вычислительных устройств. Отдельно подчеркните случай, когда под корнем стоит сам квадрат из таблицы: тогда записывается точное равенство.

Наконец, проверьте порядок знаков. Из 100 < 120 < 121 следует 10 < √120 < 11, а не наоборот. Функция квадратного корня возрастает на неотрицательных числах: большему подкоренному числу соответствует больший арифметический корень. Но это правило нельзя переносить на отрицательные подкоренные числа в действительной арифметике: выражение √(−9) здесь не определено.

Разбор ошибок при самостоятельной проверке

Ошибка № 1: найти соседние подкоренные числа вместо соседних целых корней. Например, √50 расположен между 7 и 8, а не между 49 и 64: 49 и 64 — это квадраты границ. Ошибка № 2: считать √a отрицательным при положительном a. Арифметический корень всегда неотрицателен. Ошибка № 3: записывать строгие знаки там, где a точно равно квадрату целого числа.

Метод полезен и без калькулятора: достаточно знать таблицу квадратов и последовательно сравнивать числа. В сложных заданиях можно составить две колонки «квадрат нижней границы» и «квадрат верхней границы», чтобы убедиться, что нет пропущенного целого числа между оценками.

Ключ для учителя и самопроверки

Сначала выполните ученическую часть без подсказок. Ниже приведены ответы и короткие обоснования; при печати для школьников распечатывайте страницы документа до раздела с ключом. Не выдавайте ученикам ключ одновременно с карточкой.

1. 1 < √2 < 2. — 1² = 1 < 2 < 4 = 2².

2. 2 < √5 < 3. — 2² = 4 < 5 < 9 = 3².

3. 2 < √8 < 3. — 2² = 4 < 8 < 9 = 3².

4. 3 < √10 < 4. — 3² = 9 < 10 < 16 = 4².

5. 4 < √17 < 5. — 4² = 16 < 17 < 25 = 5².

6. 4 < √23 < 5. — 4² = 16 < 23 < 25 = 5².

7. 5 < √28 < 6. — 5² = 25 < 28 < 36 = 6².

8. 5 < √35 < 6. — 5² = 25 < 35 < 36 = 6².

9. 6 < √48 < 7. — 6² = 36 < 48 < 49 = 7².

10. 7 < √63 < 8. — 7² = 49 < 63 < 64 = 8².

11. 8 < √80 < 9. — 8² = 64 < 80 < 81 = 9².

12. 9 < √99 < 10. — 9² = 81 < 99 < 100 = 10².

13. 10 < √120 < 11. — 10² = 100 < 120 < 121 = 11².

14. 12 < √150 < 13. — 12² = 144 < 150 < 169 = 13².

15. 12 < √168 < 13. — 12² = 144 < 168 < 169 = 13².

16. 15 < √226 < 16. — 15² = 225 < 226 < 256 = 16².

17. √121 = 11; нельзя. — Число 121 = 11² — полный квадрат, а запись 11 < 11 ложна.

18. √0 = 0; между соседними целыми строго не лежит. — Нулевой корень — целое число, поэтому надо записать равенство, а не строгое неравенство.

Как проверить себя

Возведите каждую из названных целых границ в квадрат и проверьте n² < a < (n + 1)². Границы должны отличаться ровно на 1. Для полных квадратов вместо неравенства пишите точное равенство.

Материал рассчитан на 8 класс. В школах России и Казахстана последовательность тем может различаться; учитель выбирает упражнения после изучения соответствующих правил.