Перестановки небольшого числа различных объектов — мини-тест с разбором для 9 класса

Перестановка — это способ расположить все разные объекты по порядку. Если объектов n, их можно расставить n! = 1·2·…·n способами. Здесь в каждом упражнении объекты имеют обозначения A, B, C и далее без повторений. Важны не сами буквы, а позиции: например, ABC и BAC — разные перестановки. Мини-тест состоит из 18 заданий, распределённых по трём контрольным точкам.

Маршрут 1: от дерева решений к факториалу

Пусть нужно выстроить в ряд A, B и C. На первое место подойдёт любой из трёх объектов, на второе — любой из двух оставшихся, на третье — последний. Поэтому 3! = 3·2·1 = 6. Запишите все шесть вариантов: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Такое перечисление служит прямой проверкой формулы.

Контрольная точка 1. Первые семь заданий

Для каждой задачи выпишите подходящие факториалы или произведение по местам. Если первое или последнее место заранее закреплено за A, объект уже не участвует в выборе остальных позиций. Не забывайте, что все объекты различны и должны быть использованы ровно один раз.

1. Различные объекты: A, B, C. Сколько существует перестановок всех объектов в один ряд? Ответ: ______.
2. Различные объекты: A, B, C, D. Сколько существует перестановок всех объектов в один ряд? Ответ: ______.
3. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько существует перестановок всех объектов в один ряд? Ответ: ______.
4. Различные объекты: A, B, C, D, E, F. Сколько существует перестановок всех объектов в один ряд? Ответ: ______.
5. Различные объекты: A, B, C, D. Сколько перестановок, если объект A обязан стоять первым? Ответ: ______.
6. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько перестановок, если объект A обязан стоять последним? Ответ: ______.
7. Различные объекты: A, B, C, D, E, F. Сколько перестановок, если объект A обязан стоять первым? Ответ: ______.

Контрольная точка 2. Рядом или не рядом

Если A и B стоят рядом, можно временно считать пару одним блоком. Блок и остальные объекты переставляются, а внутри блока есть два порядка — AB и BA. Для пяти объектов это 2·4! = 48. Если требуется НЕ рядом, легче из общего числа 5! вычесть случаи «рядом», получив 120 − 48 = 72. Осторожно: «A левее B» не означает «A непосредственно перед B».

8. Различные объекты: A, B, C, D. Сколько перестановок, если A и B должны стоять рядом (порядок пары любой)? Укажите метод и результат: ______.
9. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько перестановок, если A и B должны стоять рядом (порядок пары любой)? Укажите метод и результат: ______.
10. Различные объекты: A, B, C, D. Сколько перестановок, если A и B не должны стоять рядом? Укажите метод и результат: ______.
11. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько перестановок, если A и B не должны стоять рядом? Укажите метод и результат: ______.
12. Различные объекты: A, B, C, D. Сколько перестановок, если A находится левее B (необязательно рядом)? Укажите метод и результат: ______.
13. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько перестановок, если A находится левее B (необязательно рядом)? Укажите метод и результат: ______.

Финальный тест: крайние позиции и сочетания условий

На крайних местах расположить A и B можно в двух порядках, после чего остальные n − 2 объекта свободно переставляются внутри. Если же сказано «A первое, B последнее», перестановка крайних объектов уже не допускается. Разница — множитель 2. Выберите короткий метод: фиксировать позиции или считать все варианты и исключать неподходящие.

14. Различные объекты: A, B, C, D. Сколько перестановок, если A и B занимают два крайних места в любом порядке? Вычислите: ______.
15. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько перестановок, если A и B занимают два крайних места в любом порядке? Вычислите: ______.
16. Различные объекты: A, B, C, D, E. Сколько перестановок, если A стоит первым, а B — последним? Вычислите: ______.
17. Различные объекты: A, B, C, D, E, F. Сколько перестановок, если A стоит первым, а B — последним? Вычислите: ______.
18. Различные объекты: A, B, C, D, E, F. Сколько перестановок, если A и B должны стоять рядом (порядок пары любой)? Вычислите: ______.

Ответы и разбор каждого пункта

1. 6. 3! = 6: все позиции последовательно заполняются без повторения.
2. 24. 4! = 24: все позиции последовательно заполняются без повторения.
3. 120. 5! = 120: все позиции последовательно заполняются без повторения.
4. 720. 6! = 720: все позиции последовательно заполняются без повторения.
5. 6. (4 − 1)! = 6: первая позиция уже занята A.
6. 24. (5 − 1)! = 24: последняя позиция уже занята A.
7. 120. (6 − 1)! = 120: первая позиция уже занята A.
8. 12. 2·(4 − 1)! = 12: связка AB/BA считается одним блоком и имеет два порядка.
9. 48. 2·(5 − 1)! = 48: связка AB/BA считается одним блоком и имеет два порядка.
10. 12. 4! − 2·(4 − 1)! = 12: из всех перестановок вычитаем расположения рядом.
11. 72. 5! − 2·(5 − 1)! = 72: из всех перестановок вычитаем расположения рядом.
12. 12. 4!/2 = 12: в каждой паре перестановок с обменом A и B ровно одна имеет A слева.
13. 60. 5!/2 = 60: в каждой паре перестановок с обменом A и B ровно одна имеет A слева.
14. 4. 2·(4 − 2)! = 4: две ориентации крайних букв, середина свободна.
15. 12. 2·(5 − 2)! = 12: две ориентации крайних букв, середина свободна.
16. 6. (5 − 2)! = 6: первые и последние места строго фиксированы.
17. 24. (6 − 2)! = 24: первые и последние места строго фиксированы.
18. 240. 2·(6 − 1)! = 240: связка AB/BA считается одним блоком и имеет два порядка.

Как оценить и исправить неверное решение

Дайте по 1 баллу за правильный способ подсчёта и 1 баллу за итог. Максимум — 36 баллов. Если ученик перепутал «рядом» и «раньше», попросите сравнить ABСD и ACBD: в обоих A левее B, но только в первом A и B стоят рядом. Для ограничения «A и B не рядом» полезно посчитать дополнение до общего числа перестановок.

Проверка вручную работает при трёх или четырёх объектах: можно выписать варианты, объединить их по первой букве и убедиться, что в каждой группе количество равно (n − 1)!. Для пяти-шести объектов рациональнее факториал. Если у ученика получился ответ больше n!, это невозможно: ограничение не может дать больше перестановок, чем разрешено без ограничения.

Отличие от сочетаний: в перестановках важен порядок и используются все заданные различные объекты. Если выбирают только часть объектов и порядок не важен, это другая задача. Здесь всегда сказано, какие именно A, B, C и другие объекты располагаются в ряд; новые предметы вводить не требуется.