Периметр правильного шестиугольника через радиус окружности — рабочий лист для 9 класса

Рабочий лист с таблицей исходных данных. В этой карточке под радиусом R понимается радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: её центр совпадает с центром шестиугольника, а все шесть вершин лежат на окружности. Не путайте эту окружность со вписанной — тогда радиусы различаются.

Математическая схема

Соединим центр правильного шестиугольника с соседними вершинами. У центрального треугольника две стороны равны R, а угол между ними равен 360°/6=60°. Поэтому треугольник равносторонний и сторона шестиугольника a=R. Отсюда P=6a=6R.

Дополнительная проверка: если известен радиус вписанной окружности r (апофема), то r=a√3/2, значит P=4√3·r. Подстановка r вместо R в формулу 6R была бы ошибкой; в № 14 это различие принципиально.

Таблица исходных ситуаций

Вычислительные задания

Записывайте ответ в единицах длины, а не площади. В номерах 11–12 обязательно выполните перевод единиц.

1. 1. Радиус описанной окружности 2 см.
2. 2. R = 3,5 см.
3. 3. R = 8 м.
4. 4. R = 12 мм.
5. 5. R = 0,6 дм.
6. 6. R = 15 см.
7. 7. Периметр равен 42 см. Определите R.
8. 8. Периметр равен 51 м. Найдите R.
9. 9. Периметр равен 7,2 дм. Найдите R.
10. 10. Периметр равен 90 мм. Найдите R.
11. 11. Радиус описанной окружности 4 см. Ответ в миллиметрах.
12. 12. R = 0,04 м. Найдите P в сантиметрах.
13. 13. Диаметр описанной окружности равен 14 см. Найдите P.
14. 14. Апофема (радиус вписанной окружности) равна 3√3 см. Найдите P.
15. 15. Два шестиугольника имеют радиусы описанных окружностей 8 и 12 см. Найдите отношение их периметров.
16. 16. Радиус описанной окружности увеличили вдвое. Во сколько раз изменится периметр?

Ответы и сверка условий

Контроль единиц и исходных данных

Для равных сторон периметр есть сумма шести отрезков; его единицы — см, м, мм или дм. Если R задан в метрах, а P нужен в сантиметрах, сначала переведите метры в сантиметры или сделайте перевод в конце, сохранив множитель 100. В № 13 исходно дан диаметр, поэтому перед умножением на 6 его нужно разделить на 2.

В № 14 радиус вписанной окружности r не равен стороне, поэтому пользуемся соотношением из прямоугольного треугольника с углом 30°: r=(√3/2)a. Важный итог для проверки: при одном и том же значении r и R (если их ошибочно перепутать) периметр будет неверным.

За каждое правильное значение с единицей ставьте один балл; в № 11–14 второй балл можно дать за записанную формулу или перевод. Наличие ответа «24» без «см» в № 12 — ошибка оформления физической величины.

Разбор таблицы для родителя и учителя

В заданиях 1–6 ученик получает радиус описанной окружности и находит периметр, то есть умножает известную длину на шесть. Например, при R=3,5 см периметр равен 21 см. Проверка здесь не только вычислительная: шесть одинаковых отрезков по 3,5 см дают в сумме 21 см, а единицей остаётся сантиметр. При R=0,6 дм результат 3,6 дм, а не 3,6 дм². Периметр не может иметь размерность площади.

В заданиях 7–10 направление вычисления меняется: известную сумму шести равных сторон делят на шесть. Если P=51 м, то каждая сторона a=P/6=8,5 м, и ровно этому значению равен радиус описанной окружности. После вычисления 8,5 м полезно сделать обратную подстановку: 6·8,5=51 м. Не пытайтесь делить на квадрат шести: зависимость периметра от радиуса линейна, а не квадратична.

При работе с единицами измерения выбирайте один порядок действий. Для R=0,04 м можно сначала получить P=0,24 м и перевести в 24 см. Можно сразу записать R=4 см и тогда P=6·4=24 см. Оба пути верны. Неверно умножить на 100 дважды или оставить метры в ответе, когда условие требует сантиметры. Для диаметра 14 см радиус составляет 7 см, поэтому периметр равен 42 см; исходный диаметр нельзя принимать за сторону.

Почему указание «описанная окружность» обязательно

Центр правильного шестиугольника вместе с двумя соседними вершинами образует равносторонний треугольник. Его высота равна a√3/2, а именно эта высота — апофема r, радиус вписанной окружности. Поэтому R=a, но r=a√3/2. Если дана только фраза «радиус окружности» без уточнения на чертеже, сначала выясните, какая окружность имеется в виду. Иначе одна исходная величина приводит к двум разным вычислениям.

Задача для обсуждения: два правильных шестиугольника построены с радиусами описанных окружностей R и 2R. Их стороны также относятся как 1:2, поэтому периметры относятся как 1:2. Если вместо периметра сравнивать площади, отношение станет 1:4; это уже другая геометрическая величина и другая задача. Умение различать их важнее запоминания численного коэффициента 6.