Перпендикулярность прямой и плоскости по двум прямым: примеры и объяснения для 10 класса

Когда двух перпендикуляров достаточно для целой плоскости

Признак: если прямая перпендикулярна двум ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В стандартном школьном доказательстве прямую проводят через точку их пересечения; нельзя подменять «пересекающиеся» словом «параллельные».

Обозначение l ⟂ α означает, что направление l перпендикулярно любому направлению в плоскости α. Достаточно двух независимых направлений: именно поэтому признак работает. В задачах о кубе удобнее всего брать два соседних ребра грани с общей вершиной.

Три доказательства по шагам

Пример 1. Прямая в треугольной пирамиде

Пирамида TKLM с основанием-треугольником KLM: дано TK ⟂ KL и TK ⟂ KM, а K, L, M не лежат на одной прямой. Прямые KL и KM пересекаются в K и принадлежат (KLM). Поэтому TK ⟂ (KLM). Заметьте: одного прямого угла для этого заключения недостаточно.

Пример 2. Ребро прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде EFGH E₁F₁G₁H₁ прямая EF перпендикулярна EH и EE₁. Прямые EH и EE₁ лежат в грани (EHH₁E₁) и встречаются в E. Следовательно EF ⟂ (EHH₁E₁). Этот способ работает и для некубического прямоугольного параллелепипеда.

Пример 3. Незнакомая плоскость и две её линии

Пусть прямые r и s в плоскости β пересекаются в точке Q; от Q проведена прямая t так, что угол между t и r равен 90°, а между t и s также 90°. По признаку t ⟂ β. Если заменить s прямой, параллельной r, вывода уже не будет; поэтому именно условие пересечения имеет доказательную силу.

Практика с частичными подсказками — задания 1–9

Для каждого упражнения письменно назовите: первую прямую плоскости, вторую прямую плоскости, общую точку и итоговый вывод. В заданиях 1–7 на кубе используйте только данные о рёбрах, а не вид рисунка.

1. В кубе доказать AA₁ ⟂ (ABCD).
2. В кубе доказать BB₁ ⟂ (ABCD).
3. В кубе доказать AB ⟂ (ADD₁A₁).
4. В кубе доказать CD ⟂ (ADD₁A₁).
5. В кубе доказать BC ⟂ (ABB₁A₁).
6. В кубе доказать A₁B₁ ⟂ (ADD₁A₁).
7. В кубе доказать CC₁ ⟂ (ABCD), выбрав две прямые.
8. Точка S и треугольник ABC: SA ⟂ AB и SA ⟂ AC. Что следует?
9. В плоскости α через P проходят две различные пересекающиеся прямые p и q. Прямая l через P перпендикулярна обеим. Вывод?

Проверка достаточности условий — задания 10–17

Если признак применить нельзя, объясните, какое условие отсутствует, и не заменяйте недостающую информацию рисунком.

1. Известно l ⟂ p и l ⟂ q, но p ∥ q в α. Следует ли l ⟂ α?
2. В кубе AA₁ ⟂ AB, но известно только это. Можно ли одним условием обосновать AA₁ ⟂ (ABCD)?
3. В прямоугольном параллелепипеде MNPK M₁N₁P₁K₁ доказать MM₁ ⟂ (MNPK).
4. Доказать, что DD₁ ⟂ (ABCD) куба.
5. В кубе доказать AD ⟂ (ABB₁A₁).
6. SA ⟂ AB и SA ⟂ AC; A,B,C лежат на одной прямой. Достаточно ли данных?
7. В плоскости α выбраны p и q через P, p ⟂ q. Дано l ⟂ p, но не дано l ⟂ q. Можно ли утверждать l ⟂ α?
8. В кубе доказать B₁C₁ ⟂ (ABB₁A₁).

Решения с указанием двух прямых

1. AA₁ ⟂ AB и AA₁ ⟂ AD; AB и AD пересекаются в A и лежат в (ABCD). Признак выполнен.
2. BB₁ ⟂ BA и BB₁ ⟂ BC; обе прямые в основании пересекаются в B.
3. AB ⟂ AD и AB ⟂ AA₁, а AD и AA₁ пересекаются в A внутри указанной грани.
4. CD ⟂ DA и CD ⟂ DD₁; DA и DD₁ пересекаются в D в плоскости боковой грани.
5. BC ⟂ BA и BC ⟂ BB₁; прямые BA и BB₁ пересекаются в B в указанной грани.
6. A₁B₁ ⟂ A₁D₁ и A₁B₁ ⟂ A₁A; обе прямые пересекаются в A₁ в грани ADD₁A₁.
7. CC₁ ⟂ CB и CC₁ ⟂ CD; они пересекаются в C и лежат в основании.
8. Если A,B,C неколлинеарны, AB и AC пересекаются в A. Поэтому SA ⟂ (ABC).
9. l ⟂ α по признаку перпендикулярности к плоскости.
10. Нет: две параллельные прямые задают лишь одно направление. Нужны две пересекающиеся прямые.
11. Нельзя; нужно ещё независимое направление основания, например AD, и его перпендикулярность AA₁.
12. MM₁ ⟂ MN и MM₁ ⟂ MK; MN, MK пересекаются в M в основании.
13. DD₁ ⟂ DA и DD₁ ⟂ DC; DA и DC пересекаются в D.
14. AD ⟂ AB и AD ⟂ AA₁; AB и AA₁ пересекаются в A на грани ABB₁A₁.
15. Нет: (ABC) не задаёт единственную плоскость, а AB и AC совпадают по направлению.
16. Нет: не проверено второе требование признака. Перпендикулярность самих p и q его не заменяет.
17. B₁C₁ ⟂ B₁A₁ и B₁C₁ ⟂ B₁B; B₁A₁ и B₁B пересекаются в B₁ в указанной грани.

Почему признак работает: рассуждение через направления

Две непараллельные пересекающиеся прямые p и q задают плоскость α. Любой вектор, лежащий в α, можно представить как сумму двух векторов вдоль p и q с некоторыми коэффициентами. Если направляющий вектор прямой l образует угол 90° и с p, и с q, то его скалярное произведение с любой их линейной комбинацией тоже равно нулю. Значит, l перпендикулярна любому направлению плоскости. Такое объяснение полезно для проверки логики, но сами задачи можно решать на уровне свойств прямых углов куба.

Если p и q параллельны, их направления зависимы: одно является кратным другому. Прямая l может быть перпендикулярна этому одному направлению и при этом иметь горизонтальную составляющую в плоскости α. Поэтому условие «две прямые» само по себе ничего не гарантирует: они должны пересекаться, причём быть различными.

Как оформлять геометрическое доказательство

Удобная запись состоит из трёх строк. Первая: «AA₁ ⟂ AB и AA₁ ⟂ AD» — это проверка двух прямых углов. Вторая: «AB и AD пересекаются в A и принадлежат (ABCD)» — проверка геометрического положения. Третья: «по признаку AA₁ ⟂ (ABCD)» — вывод. Такой порядок помогает учителю отличать содержательное доказательство от догадки по чертежу.

Если вместо AD выбрать диагональ AC основания, доказательство тоже может сработать, но нужно независимо установить AA₁ ⟂ AC. Нельзя брать это как очевидную предпосылку, если она ещё не доказана. В школьных задачах надёжнее опираться на известные взаимно перпендикулярные рёбра, образующие прямоугольный трёхгранный угол.

Разбор вопросов, где данные недостаточны

Задание 10 показывает главное ограничение: перпендикулярность параллельным p и q не характеризует перпендикулярность всей плоскости. В задаче 11 известна лишь одна прямая AB; даже если фигура похожа на куб, второй перпендикуляр необходимо указать и обосновать отдельно. В задании 15 A, B, C коллинеарны: речь о плоскости (ABC) теряет смысл как об единственной определённой плоскости.

Иногда в условии дана прямая l, которая пересекает плоскость α в точке P, но две отмеченные линии p и q проходят через другие точки. В этом случае сначала надо понять, в каком смысле доказана перпендикулярность к p и q: угол между направлениями тоже можно рассматривать, однако в базовой формулировке признака проще выбрать две прямые плоскости, проходящие через P. Для куба это несложно — берите два соседних ребра соответствующей грани.

Полезный дополнительный контроль: сформулируйте обратное свойство. Если l ⟂ α, то l перпендикулярна каждой прямой α в смысле угла между их направлениями. Но на практике для доказательства l ⟂ α не надо проверять бесконечно много прямых: двух пересекающихся достаточно. Эти два утверждения часто путают, хотя они дополняют друг друга.

Тонкость построения перпендикуляра в кубе

У куба каждая тройка рёбер, выходящих из одной вершины, взаимно перпендикулярна. Но из этого не следует, что любое из этих рёбер перпендикулярно любой грани: если ребро лежит в грани, оно не может быть её перпендикуляром. Поэтому в задаче про AB сначала назовите грань ADD₁A₁, которая не содержит всю прямую AB, и только потом выбирайте в ней AD и AA₁. Для BC аналогичная удобная грань — ABB₁A₁.

Контрпример к неверному выводу

Рассмотрим плоскость z=0. Прямые p: (0;t;0) и q: (2;t;0) параллельны. Прямая l с направляющим вектором (1;0;1) перпендикулярна каждой из них по направлению, потому что (1;0;1)·(0;1;0)=0. Но l НЕ перпендикулярна плоскости z=0, поскольку имеет ненулевую горизонтальную составляющую. Этот пример объясняет, почему двух параллельных линий недостаточно.

Проверяйте выбор плоскости особенно внимательно: грань (ABB₁A₁) не то же самое, что основание (ABCD). Неверное название плоскости может разрушить правильное геометрическое рассуждение. Критерий оценки: в каждой из 17 задач по 1 баллу за верные две прямые/обнаружение недостаточности и по 1 баллу за обоснование (34 балла).