Площадь боковой поверхности конуса по образующей — практикум с ответами для 11 класса

Конус: радиус и образующая в одной таблице

У прямого кругового конуса боковая поверхность разворачивается в сектор круга радиуса l, где l — образующая конуса. Длина дуги сектора должна равняться окружности основания 2πr. Из пропорции площади сектора к площади полного круга получается Sбок=πrl. Это не формула объёма, не площадь основания и не площадь полной поверхности.

Схема исходных данных

Основные расчёты по таблице — задания 1–10

Запишите решение в виде Sбок=π·r·l. Там, где дан диаметр, сначала найдите радиус. При разных единицах переведите обе длины в одну систему.

1. r=3 см, l=7 см.
2. r=4 дм, l=9 дм.
3. r=5 см, l=8 см.
4. r=6 м, l=10 м.
5. r=2 см, l=13 см.
6. r=7 дм, l=11 дм.
7. r=0,8 м, l=1,5 м.
8. r=15 см, l=0,4 м; ответ в м².
9. d=14 см, l=12 см.
10. d=18 дм, l=15 дм.

Данные неполны или требуется обратный ход — задания 11–16

В этих задачах важно не только разделить известную площадь на πr или πl, но и проверить, могут ли такие числа описывать настоящий прямой конус.

11. Sбок=48π см², r=6 см. Найдите l.
12. Sбок=90π см², l=15 см. Найдите r.
13. Sбок=50π м², r=5 м. Найдите l.
14. Sбок=24π см², r=6 см. Предлагают l=4 см. Может ли такой прямой конус существовать?
15. Sбок=40π см², l=8 см. Найдите r и проверьте возможность конуса.
16. Для конуса r=3 см, l=6 см. Найдите боковую и полную площади.

Ключ с проверкой исходных данных

Почему нельзя подменять образующую высотой

В осевом сечении прямого конуса образующая l — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами r и h. Например, при r=5 см и h=12 см образующая равна 13 см, и боковая площадь 65π см², а не 60π см². Вырожденный случай h=0 не считается обычным объёмным конусом.

Рубрика самопроверки: за верную формулу — 1 балл; за подстановку в единых единицах — 1; за вычисление — 1; за проверку l>r или корректный вывод о невозможности — ещё 1 балл. В заданиях с отрицательными или нулевыми линейными размерами геометрическая модель не имеет смысла.

Почему боковая развёртка конуса — сектор

Если мысленно разрезать боковую поверхность прямого конуса вдоль одной образующей, получится круговой сектор. Его радиус равен образующей l. Полный круг радиуса l имеет площадь πl² и длину окружности 2πl; длина дуги сектора должна равняться окружности основания конуса 2πr. Поэтому сектор занимает долю r/l от полного круга. Умножаем πl² на r/l и получаем Sбок=πrl.

Центральный угол сектора как дополнительная проверка

Для прямого конуса r=4 см, l=10 см доля окружности равна r/l=0,4. Следовательно угол сектора развёртки равен 0,4·360°=144°. Его площадь составляет 0,4·π·10²=40π см². Та же площадь по формуле πrl=π·4·10=40π см². Согласие двух способов подтверждает геометрическую модель. В отличие от цилиндра, боковая развёртка конуса — не прямоугольник.

Найдите ошибку в рассуждении

1. «Образующая равна высоте, потому что обе идут от вершины». Неверно: образующая соединяет вершину с точкой окружности основания, а высота идёт к центру перпендикулярно основанию. Для невырожденного прямого конуса образующая длиннее высоты.
2. «Боковая площадь конуса πr²». Это площадь круга основания. Нужная боковая площадь πrl, и её нельзя заменить площадью сектора полного круга радиуса l.
3. «Если площадь известна, любое найденное l положительно — значит конус возможен». Нет: для прямого невырожденного конуса нужно l>r>0. Например, результат l=4 см при r=6 см нарушает теорему Пифагора.

В прикладной задаче про изготовление картонного конуса площадь боковой части соответствует только сектору. Если нужно закрыть основание кругом, добавьте πr²; если требуется нахлёст для склейки, его площадь рассчитывается отдельно. Эти прибавки не должны незаметно превращать ответ на вопрос «площадь боковой поверхности» в ответ на другую задачу.

При округлении приближённая площадь в см² получается из πrl только после приведения r и l к сантиметрам. Например, при r=0,2 м и l=45 см переводим r=20 см; получаем 900π см². Если оставить r=0,2 и l=45 без перевода, результат не будет иметь корректной единицы. При необходимости можно использовать 900π≈2827,43 см².

Проверьте коэффициент π и площадь основания

Сравните конус с r=6 см и l=10 см. Боковая площадь — 60π см². Площадь основания — 36π см², а полная площадь при добавлении круга основания — 96π см². Число 60π нельзя подписывать «полная поверхность», если в условии указана только боковая. Напротив, нельзя считать полную поверхность боковой. В отличие от цилиндра, здесь основание всего одно, а не два.

Обратная задача с проверкой высоты

Пусть боковая площадь конуса 72π см², а радиус 8 см. Формально образующая равна l=72π/(8π)=9 см. Проверяем возможность фигуры: l>r, то есть 9>8; высота равна √(9²−8²)=√17 см. Она положительна, поэтому настоящий прямой конус с такими данными существует. Если вместо 72π задать боковую площадь 56π см² при том же радиусе, возникнет l=7 см<8 см; такая геометрическая модель невозможна.

Развёртку можно проверить двумя путями. Сектор радиуса l должен иметь дугу длины 2πr, тогда его площадь вычисляется по формуле «половина произведения радиуса сектора на длину его дуги»: S=½·l·2πr=πrl. Если случайно подставить вместо l высоту h, длина сектора и длина окружности основания перестанут согласовываться. Поэтому правило сектора не просто запоминают, а проверяют соотношением размеров.