Площадь фигуры между прямой и параболой: самостоятельная работа по математике, 11 класс
Содержание статьи8 разделов
Как построить границы площади между прямой и параболой
Ищем площадь замкнутой области, которую образуют y = L(x) (прямая) и y = Q(x) (парабола). Сначала решите L(x)=Q(x) и получите абсциссы пересечения a<b. Затем проверьте, какой график выше внутри (a;b): площадь S = ∫ от a до b (верхняя функция − нижняя функция) dx. При отсутствии двух различных действительных пересечений ограниченной области между этими графиками может не быть.
Три разобранных примера
Пример 1
Даны парабола y = x² и прямая y = 4·x. Уравнение пересечения: −x·(x − 4) = 0, поэтому x = 0 и x = 4. Между корнями выражение L−Q положительно, значит прямая выше. Площадь равна ∫ от 0 до 4 (−x² + 4·x) dx = 32/3 квадратных единиц.
Пример 2
Даны парабола y = x² и прямая y = 5·x − 6. Уравнение пересечения: −(x − 3)·(x − 2) = 0, поэтому x = 2 и x = 3. Между корнями выражение L−Q положительно, значит прямая выше. Площадь равна ∫ от 2 до 3 (−x² + 5·x − 6) dx = 1/6 квадратных единиц.
Пример 3
Даны парабола y = x² + 1 и прямая y = 4·x − 2. Уравнение пересечения: −(x − 3)·(x − 1) = 0, поэтому x = 1 и x = 3. Между корнями выражение L−Q положительно, значит прямая выше. Площадь равна ∫ от 1 до 3 (−x² + 4·x − 3) dx = 4/3 квадратных единиц.
Самостоятельная работа — 12 новых пар графиков
Порядок работы в каждом задании: ① найти точки пересечения; ② проверить верхний график; ③ записать определённый интеграл; ④ вычислить площадь. Не ограничивайтесь подстановкой в готовую формулу: смысл задания — научиться выбирать правильную разность функций.
- Парабола y = x², прямая y = 6·x − 8. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x², прямая y = 2·x + 3. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x², прямая y = 2 − x. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x² + 2, прямая y = 3·x + 2. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x² − 2·x, прямая y = 4·x − 5. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = 2·x², прямая y = 8·x. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = 2·x² + 1, прямая y = 8·x − 5. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x² + 4·x, прямая y = 2·x + 3. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x² − 1, прямая y = x + 1. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x² + 3, прямая y = 7·x − 7. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = x² + 2·x + 1, прямая y = 6·x − 2. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
- Парабола y = 3·x², прямая y = 9·x. Найдите площадь замкнутой фигуры. Ответ: ___________________
Полный ключ: пересечения, подынтегральная разность, площадь
| № | Корни a, b | Верхняя минус нижняя | Площадь |
|---|---|---|---|
| 1 | 0; 4 | −x² + 4·x | 32/3 |
| 2 | 2; 3 | −x² + 5·x − 6 | 1/6 |
| 3 | 1; 3 | −x² + 4·x − 3 | 4/3 |
| 4 | 2; 4 | −x² + 6·x − 8 | 4/3 |
| 5 | -1; 3 | −x² + 2·x + 3 | 32/3 |
| 6 | -2; 1 | −x² − x + 2 | 9/2 |
| 7 | 0; 3 | −x² + 3·x | 9/2 |
| 8 | 1; 5 | −x² + 6·x − 5 | 32/3 |
| 9 | 0; 4 | −2·x² + 8·x | 64/3 |
| 10 | 1; 3 | −2·x² + 8·x − 6 | 8/3 |
| 11 | -3; 1 | −x² − 2·x + 3 | 32/3 |
| 12 | -1; 2 | −x² + x + 2 | 9/2 |
| 13 | 2; 5 | −x² + 7·x − 10 | 9/2 |
| 14 | 1; 3 | −x² + 4·x − 3 | 4/3 |
| 15 | 0; 3 | −3·x² + 9·x | 27/2 |
Почему ответы можно перепроверить по ширине фигуры
Для квадратичной разности вида L(x)−Q(x) = c(x−a)(b−x), где c>0, интегрирование даёт S = c(b−a)³/6. Это удобная проверка уже найденных границ, но не замена рассуждению о положении графиков. В задачах с коэффициентом при x², равным 2 или 3, обязательно учитывайте множитель c.
Например, в задании 9 разность равна −2x(x−4), ширина отрезка равна 4 и S = 2·4³/6 = 64/3. В задании 10 разность −2(x−1)(x−3), поэтому S = 2·2³/6 = 8/3. Площадь не может быть отрицательной; если вышел минус, скорее всего, вы поменяли местами графики.
В заданиях 1–15 единица измерения площади условная — квадратная единица координатной плоскости. Если бы оси изображали метры, площадь выражалась бы в м². Удостоверяйтесь, что проверяете пересечения самих графиков, а не только нули одной функции.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.