Площадь между двумя прямыми на заданном отрезке: задания от простого к сложному, 11 класс

Содержание статьи7 разделов

Что именно ограничивает фигуру

Две непараллельные прямые сами по себе не образуют замкнутую фигуру. Здесь добавлены вертикальные границы x=a и x=b. Площадь области между ними равна ∫ от a до b |y₁(x)−y₂(x)|dx. Если графики пересекаются внутри отрезка, разность меняет знак и интеграл нужно разбить в точке пересечения. Если прямые параллельны, расстояние по вертикали постоянно, получается прямоугольник.

Пограничные ситуации

  • Точка пересечения вне [a;b] не делит нужную область: просто проверьте верхний график.
  • Совпадающие прямые дают площадь 0, даже когда отрезок длинный.
  • Если прямые пересекаются ровно при x=a или x=b, внутреннего разбиения нет.
  • При ответе в квадратных единицах нельзя писать только «ед.»: площадь — ед.².

Уровень I: без обязательного разбиения — 1–6

  1. y1 = 1x, y2 = 2, x ∈ [0; 3]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  2. y1 = 2x+1, y2 = 1x, x ∈ [-1; 2]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  3. y1 = -1x+6, y2 = 1x+2, x ∈ [0; 2]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  4. y1 = 4, y2 = 2x, x ∈ [2; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  5. y1 = 3x, y2 = 1x, x ∈ [0; 2]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  6. y1 = -2x+8, y2 = -1x+2, x ∈ [1; 3]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.

Ориентир: достаточно найти разность двух линейных функций, определить её знак на интервале и взять модуль интеграла. Запишите также, существует ли пересечение внутри.

Уровень II: пересечения и смена верхнего графика — 7–12

  1. y1 = 1x+1, y2 = -1x+3, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  2. y1 = 2x-1, y2 = 3, x ∈ [0; 3]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  3. y1 = -1x+4, y2 = 1x, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  4. y1 = 3x-2, y2 = 1x+2, x ∈ [-1; 3]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  5. y1 = 0, y2 = 2x-4, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  6. y1 = -2x+1, y2 = 2x+1, x ∈ [-2; 2]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.

Здесь особенно внимательно ищите x₀ из равенства y₁=y₂. У двух прямых может быть одна точка пересечения, и она необязательно лежит внутри выбранного интервала.

Уровень III: большие коэффициенты, границы и совпадение — 13–22

  1. y1 = 4x+1, y2 = 5, x ∈ [0; 2]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  2. y1 = 1x-3, y2 = -2x+3, x ∈ [-1; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  3. y1 = 3x+2, y2 = -1x, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  4. y1 = 6, y2 = 3x-3, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  5. y1 = -2x+7, y2 = 1x-2, x ∈ [0; 5]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  6. y1 = 2x, y2 = -3x+10, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  7. y1 = 5x-3, y2 = 1x+5, x ∈ [0; 4]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  8. y1 = -4x+12, y2 = 2x-6, x ∈ [1; 5]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  9. y1 = 1x, y2 = 1x+3, x ∈ [-2; 2]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.
  10. y1 = 3x-1, y2 = -2x+9, x ∈ [0; 5]. Найдите площадь между прямыми на указанном отрезке.

Для последнего уровня обязательно приведите проверку полученной площади геометрически: при смене знака получается сумма двух треугольников; для постоянной разности — прямоугольник; в других случаях — трапеция либо сумма трапеций.

Проверочные ответы с объяснением

№ S (кв. ед.) Как разбить область
1 5/2 x₀=2; S=2·(2−0)/2 + 1·(3−2)/2 = 5/2
2 9/2 внутри пересечения нет; разность на концах 0, 3; S=(0+3)·3/2 = 9/2
3 4 внутри пересечения нет; разность на концах 4, 0; S=(4+0)·2/2 = 4
4 4 внутри пересечения нет; разность на концах 0, -4; S=(0+4)·2/2 = 4
5 4 внутри пересечения нет; разность на концах 0, 4; S=(0+4)·2/2 = 4
6 8 внутри пересечения нет; разность на концах 5, 3; S=(5+3)·2/2 = 8
7 10 x₀=1; S=2·(1−0)/2 + 6·(4−1)/2 = 10
8 5 x₀=2; S=4·(2−0)/2 + 2·(3−2)/2 = 5
9 8 x₀=2; S=4·(2−0)/2 + 4·(4−2)/2 = 8
10 10 x₀=2; S=6·(2−-1)/2 + 2·(3−2)/2 = 10
11 8 x₀=2; S=4·(2−0)/2 + 4·(4−2)/2 = 8
12 16 x₀=0; S=8·(0−-2)/2 + 8·(2−0)/2 = 16
13 4 x₀=1; S=4·(1−0)/2 + 4·(2−1)/2 = 4
14 39/2 x₀=2; S=9·(2−-1)/2 + 6·(4−2)/2 = 39/2
15 40 внутри пересечения нет; разность на концах 2, 18; S=(2+18)·4/2 = 40
16 15 x₀=3; S=9·(3−0)/2 + 3·(4−3)/2 = 15
17 39/2 x₀=3; S=9·(3−0)/2 + 6·(5−3)/2 = 39/2
18 20 x₀=2; S=10·(2−0)/2 + 10·(4−2)/2 = 20
19 16 x₀=2; S=8·(2−0)/2 + 8·(4−2)/2 = 16
20 24 x₀=3; S=12·(3−1)/2 + 12·(5−3)/2 = 24
21 12 внутри пересечения нет; разность на концах -3, -3; S=(3+3)·4/2 = 12
22 65/2 x₀=2; S=10·(2−0)/2 + 15·(5−2)/2 = 65/2

Два метода для сравнения

Метод интеграла удобен всегда: сначала вычисляем y₁−y₂, затем считаем интегралы с правильным знаком на каждой части. Метод планиметрии зачастую быстрее: если высоты разности на концах интервала равны h₁ и h₂ и знак не меняется, S=(h₁+h₂)(b−a)/2; если знак меняется, складываем площади двух треугольников, у которых основания определяются точкой пересечения.

Проверочный пример: y₁=x+1, y₂=−x+3 на [0;4]. Разность 2x−2 меняет знак при x=1. Слева площадь треугольника 1·2/2=1; справа площадь 3·6/2=9; всего S=10. Если бездумно взять модуль от общего интеграла, получилось бы 8 — это неверно, потому что часть площади вычлась.

Оценивание: за каждую задачу 1 балл за правильную точку пересечения (или доказательство отсутствия), 1 балл за правильный знак разности и 1 балл за верный расчёт площади. Всего 66 баллов. В дополнительных комментариях можно подписать, какая прямая находится выше на каждом промежутке.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым