Площадь между графиком функции и осью абсцисс при смене знака — карточки с ответами, 11 класс
Содержание статьи6 разделов
Рабочий лист: площадь при смене знака
Запомните алгоритм: (1) найдите все нули функции внутри отрезка; (2) разделите отрезок по этим точкам; (3) на каждой части вычислите интеграл и возьмите его модуль; (4) сложите неотрицательные результаты. Формула S = ∫|f(x)|dx означает обычную площадь, тогда как ∫f(x)dx может иметь меньшую величину из-за компенсации участков.
В упражнениях встречаются линейные и квадратичные функции. Для записи ответа допускаются обыкновенные дроби. Нули, лежащие строго за пределами отрезка, делить область не должны. Выполнение на миллиметровой бумаге необязательно: достаточно схематичного графика с указанием, где f(x) положительна и отрицательна.
Вариант А — задания 1–8
- 1. Найдите площадь между y = x − 3 и осью Ox на [0; 6]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 2. Найдите площадь между y = 3 − x и осью Ox на [1; 5]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 3. Найдите площадь между y = 2·x и осью Ox на [-1; 2]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 4. Найдите площадь между y = x + 1 и осью Ox на [-3; 1]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 5. Найдите площадь между y = x² − 1 и осью Ox на [-2; 2]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 6. Найдите площадь между y = x² + x − 2 и осью Ox на [-3; 3]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 7. Найдите площадь между y = x² − 2·x и осью Ox на [0; 3]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 8. Найдите площадь между y = 2 − x и осью Ox на [-1; 4]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
Вариант Б — задания 9–16
- 9. Найдите площадь между y = x + 2 и осью Ox на [-4; 0]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 10. Найдите площадь между y = 4 − 2·x и осью Ox на [0; 4]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 11. Найдите площадь между y = x − 1 и осью Ox на [-1; 3]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 12. Найдите площадь между y = x² − 4 и осью Ox на [-3; 3]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 13. Найдите площадь между y = 4 − x² и осью Ox на [-1; 4]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 14. Найдите площадь между y = 2·x + 2 и осью Ox на [-2; 1]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 15. Найдите площадь между y = x² + x и осью Ox на [-2; 1]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
- 16. Найдите площадь между y = 3·x − 3 и осью Ox на [0; 2]. Запишите нули функции, интервалы знака и итоговую площадь. Решение: ________________________
Ответы и проверка разбиения
| № | Нули и вычисление площади |
|---|---|
| 1 | Нули внутри: 3; суммы площадей по частям: 9/2 + 9/2 = 9. |
| 2 | Нули внутри: 3; суммы площадей по частям: 2 + 2 = 4. |
| 3 | Нули внутри: 0; суммы площадей по частям: 1 + 4 = 5. |
| 4 | Нули внутри: -1; суммы площадей по частям: 2 + 2 = 4. |
| 5 | Нули внутри: -1, 1; суммы площадей по частям: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4. |
| 6 | Нули внутри: -2, 1; суммы площадей по частям: 11/6 + 9/2 + 26/3 = 15. |
| 7 | Нули внутри: 2; суммы площадей по частям: 4/3 + 4/3 = 8/3. |
| 8 | Нули внутри: 2; суммы площадей по частям: 9/2 + 2 = 13/2. |
| 9 | Нули внутри: -2; суммы площадей по частям: 2 + 2 = 4. |
| 10 | Нули внутри: 2; суммы площадей по частям: 4 + 4 = 8. |
| 11 | Нули внутри: 1; суммы площадей по частям: 2 + 2 = 4. |
| 12 | Нули внутри: -2, 2; суммы площадей по частям: 7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3. |
| 13 | Нули внутри: 2; суммы площадей по частям: 9 + 32/3 = 59/3. |
| 14 | Нули внутри: -1; суммы площадей по частям: 1 + 4 = 5. |
| 15 | Нули внутри: -1, 0; суммы площадей по частям: 5/6 + 1/6 + 5/6 = 11/6. |
| 16 | Нули внутри: 1; суммы площадей по частям: 3/2 + 3/2 = 3. |
Как проверить решение без графика
Для каждой функции подставьте число из каждого промежутка между соседними нулями. Если результат отрицателен, соответствующий определённый интеграл в сумме площади берите со знаком минус. Например, для x−3 на [0;6] функция отрицательна слева от 3 и положительна справа, поэтому S = 9/2+9/2 = 9; прямое интегрирование без модулей дало бы ноль.
Для f(x)=x²−1 на [−2;2] точки разбиения −1 и 1. На внешних участках функция положительна, на внутреннем отрицательна. Получаются 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4. Три части нужно учитывать отдельно, даже если рисунок симметричен.
Критерии самопроверки
- 1 балл — правильно установлены нули внутри указанного отрезка;
- 1 балл — без ошибки определён знак функции на частях;
- 1 балл — правильно вычислена сумма модулей интегралов и дан неотрицательный ответ.
Всего за один вариант — 24 балла. Если нулей на интервале нет, отметьте этот факт в решении: это полноценная проверка знака, а не пропущенный шаг.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.