Площадь треугольника по координатам на сетке для 9 класса — упражнения с разбором

Исследование по координатной сетке. Задача — научиться находить площадь треугольника без измерения высоты линейкой и без угадывания по рисунку. Каждая клетка сетки считается единичным квадратом.

Наблюдение: площадь и ориентированное произведение

Начните с A(0; 0), B(4; 0), C(1; 3). Основание AB = 4 клетки, высота к нему — 3 клетки, площадь равна 4·3/2 = 6 кв. клеток. Теперь поменяйте B и C местами: фигура не изменилась, но порядок обхода вершин стал другим.

По координатам составим векторы AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) и AC = (x₃ − x₁; y₃ − y₁). Величина D = (x₂ − x₁)(y₃ − y₁) − (y₂ − y₁)(x₃ − x₁) меняет знак при перестановке B и C, а S = |D|/2 остаётся той же. Это и есть рабочая гипотеза для проверки.

Проверьте гипотезу на разобранных примерах

Опыт 1. Треугольник без горизонтального основания

Для A(1; 1), B(4; 3), C(2; 5) получаем AB = (3; 2), AC = (1; 4). Тогда D = 3·4 − 2·1 = 10 и S = 5 кв. клеток. Считать клетки по внутренней области было бы неудобнее.

Опыт 2. Отрицательный определитель

Если A(0; 0), B(1; 4), C(5; 2), то D = 1·2 − 4·5 = −18. Площадь не бывает отрицательной: S = |−18|/2 = 9. Знак определителя показывает только направление обхода.

Опыт 3. Точки на одной прямой

Для A(−1; −1), B(1; 1), C(3; 3) два вектора сонаправленны, D = 2·4 − 2·4 = 0. Площадь равна нулю: три точки лежат на одной прямой и не образуют обычный треугольник.

Вывод: алгоритм из четырёх строк

1. Выберите одну вершину A и выпишите координаты AB, AC.
2. Умножьте x-компоненту AB на y-компоненту AC.
3. Вычтите произведение y-компоненты AB на x-компоненту AC.
4. Возьмите модуль результата и разделите на 2; обязательно обозначьте квадратные единицы.

Важная проверка: при переносе всей фигуры на один и тот же вектор обе разности координат остаются неизменными, значит, площадь не меняется. При отражении относительно оси может измениться знак D, но не S.

Самостоятельное исследование — 16 треугольников

Для каждого набора координат постройте точки по желанию на миллиметровке, затем вычислите площадь. В одном из заданий фигура вырождается: обязательно укажите это словами. В нескольких задачах площадь может оказаться дробной — это нормально.

1. A(0; 0), B(6; 0), C(2; 4). Найдите площадь (в квадратных клетках).
2. A(-2; 1), B(4; 1), C(0; 5). Найдите площадь (в квадратных клетках).
3. A(1; 2), B(5; 4), C(3; 7). Найдите площадь (в квадратных клетках).
4. A(-3; -2), B(1; 3), C(4; -1). Найдите площадь (в квадратных клетках).
5. A(0; 0), B(3; 3), C(6; 6). Найдите площадь (в квадратных клетках). Проверьте, существует ли невырожденный треугольник.
6. A(-2; -1), B(2; -1), C(2; 4). Найдите площадь (в квадратных клетках).
7. A(1; 1), B(6; 1), C(4; 4). Найдите площадь (в квадратных клетках).
8. A(-4; 3), B(-1; -2), C(3; 2). Найдите площадь (в квадратных клетках).
9. A(2; -3), B(5; 1), C(-1; 4). Найдите площадь (в квадратных клетках).
10. A(-1; 0), B(5; 2), C(3; 5). Найдите площадь (в квадратных клетках).
11. A(3; 3), B(3; -2), C(-2; 1). Найдите площадь (в квадратных клетках).
12. A(-3; 2), B(1; 6), C(5; 0). Найдите площадь (в квадратных клетках).
13. A(1; -4), B(7; -1), C(4; 5). Найдите площадь (в квадратных клетках).
14. A(-5; -2), B(-1; 4), C(2; 2). Найдите площадь (в квадратных клетках).
15. A(0; 2), B(4; 5), C(8; 8). Найдите площадь (в квадратных клетках). Проверьте, существует ли невырожденный треугольник.
16. A(2; 0), B(9; 0), C(2; 3). Найдите площадь (в квадратных клетках).

Ключ с арифметической проверкой

1. AB = (6; 0), AC = (2; 4); D = 6·(4) − (0)·(2) = 24. S = |24|/2 = 12 кв. ед.
2. AB = (6; 0), AC = (2; 4); D = 6·(4) − (0)·(2) = 24. S = |24|/2 = 12 кв. ед.
3. AB = (4; 2), AC = (2; 5); D = 4·(5) − (2)·(2) = 16. S = |16|/2 = 8 кв. ед.
4. AB = (4; 5), AC = (7; 1); D = 4·(1) − (5)·(7) = -31. S = |-31|/2 = 31/2 кв. ед.
5. AB = (3; 3), AC = (6; 6); D = 3·(6) − (3)·(6) = 0. S = |0|/2 = 0 кв. ед. Точки коллинеарны; площадь 0, невырожденного треугольника нет.
6. AB = (4; 0), AC = (4; 5); D = 4·(5) − (0)·(4) = 20. S = |20|/2 = 10 кв. ед.
7. AB = (5; 0), AC = (3; 3); D = 5·(3) − (0)·(3) = 15. S = |15|/2 = 15/2 кв. ед.
8. AB = (3; -5), AC = (7; -1); D = 3·(-1) − (-5)·(7) = 32. S = |32|/2 = 16 кв. ед.
9. AB = (3; 4), AC = (-3; 7); D = 3·(7) − (4)·(-3) = 33. S = |33|/2 = 33/2 кв. ед.
10. AB = (6; 2), AC = (4; 5); D = 6·(5) − (2)·(4) = 22. S = |22|/2 = 11 кв. ед.
11. AB = (0; -5), AC = (-5; -2); D = 0·(-2) − (-5)·(-5) = -25. S = |-25|/2 = 25/2 кв. ед.
12. AB = (4; 4), AC = (8; -2); D = 4·(-2) − (4)·(8) = -40. S = |-40|/2 = 20 кв. ед.
13. AB = (6; 3), AC = (3; 9); D = 6·(9) − (3)·(3) = 45. S = |45|/2 = 45/2 кв. ед.
14. AB = (4; 6), AC = (7; 4); D = 4·(4) − (6)·(7) = -26. S = |-26|/2 = 13 кв. ед.
15. AB = (4; 3), AC = (8; 6); D = 4·(6) − (3)·(8) = 0. S = |0|/2 = 0 кв. ед. Точки коллинеарны; площадь 0, невырожденного треугольника нет.
16. AB = (7; 0), AC = (0; 3); D = 7·(3) − (0)·(0) = 21. S = |21|/2 = 21/2 кв. ед.

Дополнительные выводы и самоконтроль

Найденная площадь измеряется в квадратных клетках, а не в клетках. При стороне клетки 2 см одна квадратная клетка имеет площадь 4 см²: полученное число нужно умножить на 4, а не на 2. Если сторона клетки 0,5 м, то площадь квадратной клетки составляет 0,25 м².

Если вершины имеют целые координаты, D — целое число, а площадь является целым числом либо половиной целого. Поэтому результат 3,7 кв. клетки для такой задачи указывает на ошибку. Проверяйте также, что перестановка вершин не меняет абсолютную площадь.

Проверка понимания: почему площадь с отрицательным знаком невозможна? Почему D = 0 означает коллинеарность? Почему при переносе фигуры площадь не меняется? Ответы следуют из модуля и разностей координат, а не из внешнего вида рисунка.