Подбор дроби между двумя данными для дробей больше единицы: упражнения разной сложности, 5 класс

Математика, 5 класс. Углублённый практикум из 24 заданий в трёх уровнях: дроби строго больше единицы.

Как найти дробь строго между двумя дробями больше единицы

Если обе границы больше 1, искомая дробь также должна быть больше 1; при записи неправильной дроби это означает числитель больше знаменателя. Не следует выбирать ответ вроде 3/4: такая дробь меньше единицы и не находится в указанном промежутке. Важно, чтобы обе границы были различными, а знаки неравенства оставались строгими.

Для любых положительных знаменателей: если a/b < c/d, то дробь (a+c)/(b+d) находится строго между этими числами. Можно также привести дроби к общему знаменателю и выбрать промежуточный числитель. Когда задан конкретный знаменатель q, умножают обе границы на q и ищут целые числители между получившимися числами.

Уровень 1 · восемь интервалов

Подберите по одной неправильной дроби между границами. Дайте короткую проверку, что ответ больше единицы и расположен строго внутри интервала.

1. 7/5 < ? < 3/2.
2. 9/7 < ? < 4/3.
3. 11/8 < ? < 3/2.
4. 8/5 < ? < 7/4.
5. 10/7 < ? < 3/2.
6. 13/9 < ? < 8/5.
7. 9/5 < ? < 11/6.
8. 16/11 < ? < 3/2.

Уровень 2 · запись смешанными числами

Границы показаны смешанными числами. Переведите их в неправильные дроби, выберите дробь внутри интервала, а затем по желанию преобразуйте ответ обратно в смешанное число.

9. 1 1/5 < ? < 1 2/5.
10. 1 3/7 < ? < 1 4/7.
11. 1 5/8 < ? < 1 3/4.
12. 1 3/5 < ? < 1 2/3.
13. 1 5/7 < ? < 1 4/5.
14. 1 5/6 < ? < 1 7/8.
15. 1 7/10 < ? < 1 4/5.
16. 1 7/12 < ? < 1 5/8.

Уровень 3 · задан знаменатель

Теперь нельзя свободно менять знаменатель: он указан в условии. Найдите все подходящие целые числители. Если числителей несколько, запишите несколько дробей, если один — только одну. Не включайте границы.

17. Найдите все x: 7/5 < x/12 < 3/2; x — натуральное число.
18. Найдите все x: 9/7 < x/17 < 3/2; x — натуральное число.
19. Найдите все x: 8/5 < x/16 < 5/3; x — натуральное число.
20. Найдите все x: 13/9 < x/19 < 8/5; x — натуральное число.
21. Найдите все x: 10/7 < x/23 < 3/2; x — натуральное число.
22. Найдите все x: 17/10 < x/25 < 9/5; x — натуральное число.
23. Найдите все x: 11/6 < x/36 < 15/8; x — натуральное число.
24. Найдите все x: 16/11 < x/29 < 3/2; x — натуральное число.

Полные решения и проверка

Первые восемь: метод промежуточной дроби

1. 10/7. Получили (7+3)/(5+2). Левая проверка: 7·7 = 49 < 50 = 10·5; правая: 10·2 = 20 < 21 = 3·7. Числитель 10 больше знаменателя 7.
2. 13/10. Получили (9+4)/(7+3). Левая проверка: 9·10 = 90 < 91 = 13·7; правая: 13·3 = 39 < 40 = 4·10. Числитель 13 больше знаменателя 10.
3. 14/10. Получили (11+3)/(8+2). Левая проверка: 11·10 = 110 < 112 = 14·8; правая: 14·2 = 28 < 30 = 3·10. Числитель 14 больше знаменателя 10.
4. 15/9. Получили (8+7)/(5+4). Левая проверка: 8·9 = 72 < 75 = 15·5; правая: 15·4 = 60 < 63 = 7·9. Числитель 15 больше знаменателя 9.
5. 13/9. Получили (10+3)/(7+2). Левая проверка: 10·9 = 90 < 91 = 13·7; правая: 13·2 = 26 < 27 = 3·9. Числитель 13 больше знаменателя 9.
6. 21/14. Получили (13+8)/(9+5). Левая проверка: 13·14 = 182 < 189 = 21·9; правая: 21·5 = 105 < 112 = 8·14. Числитель 21 больше знаменателя 14.
7. 20/11. Получили (9+11)/(5+6). Левая проверка: 9·11 = 99 < 100 = 20·5; правая: 20·6 = 120 < 121 = 11·11. Числитель 20 больше знаменателя 11.
8. 19/13. Получили (16+3)/(11+2). Левая проверка: 16·13 = 208 < 209 = 19·11; правая: 19·2 = 38 < 39 = 3·13. Числитель 19 больше знаменателя 13.

Следующие восемь: смешанная запись

9. 13/10 (или 1 3/10). Сначала границы записываются как 6/5 и 7/5; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 6·10 = 60 < 65; 13·5 = 65 < 70.
10. 21/14 (или 1 1/2). Сначала границы записываются как 10/7 и 11/7; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 10·14 = 140 < 147; 21·7 = 147 < 154.
11. 20/12 (или 1 2/3). Сначала границы записываются как 13/8 и 7/4; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 13·12 = 156 < 160; 20·4 = 80 < 84.
12. 13/8 (или 1 5/8). Сначала границы записываются как 8/5 и 5/3; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 8·8 = 64 < 65; 13·3 = 39 < 40.
13. 21/12 (или 1 3/4). Сначала границы записываются как 12/7 и 9/5; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 12·12 = 144 < 147; 21·5 = 105 < 108.
14. 26/14 (или 1 6/7). Сначала границы записываются как 11/6 и 15/8; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 11·14 = 154 < 156; 26·8 = 208 < 210.
15. 26/15 (или 1 11/15). Сначала границы записываются как 17/10 и 9/5; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 17·15 = 255 < 260; 26·5 = 130 < 135.
16. 32/20 (или 1 3/5). Сначала границы записываются как 19/12 и 13/8; затем складываются соответствующие числители и знаменатели. Проверка: 19·20 = 380 < 384; 32·8 = 256 < 260.

Последние восемь: все числители, а не один пример

17. Ответ: 17/12. После умножения на 12 получаем 84/5 < x < 18. Подходящие целые x: 17; соседние целые 16 и 18 выходят за границы либо равны им.
18. Ответ: 22/17, 23/17, 24/17, 25/17. После умножения на 17 получаем 153/7 < x < 51/2. Подходящие целые x: 22, 23, 24, 25; соседние целые 21 и 26 выходят за границы либо равны им.
19. Ответ: 26/16. После умножения на 16 получаем 128/5 < x < 80/3. Подходящие целые x: 26; соседние целые 25 и 27 выходят за границы либо равны им.
20. Ответ: 28/19, 29/19, 30/19. После умножения на 19 получаем 247/9 < x < 152/5. Подходящие целые x: 28, 29, 30; соседние целые 27 и 31 выходят за границы либо равны им.
21. Ответ: 33/23, 34/23. После умножения на 23 получаем 230/7 < x < 69/2. Подходящие целые x: 33, 34; соседние целые 32 и 35 выходят за границы либо равны им.
22. Ответ: 43/25, 44/25. После умножения на 25 получаем 85/2 < x < 45. Подходящие целые x: 43, 44; соседние целые 42 и 45 выходят за границы либо равны им.
23. Ответ: 67/36. После умножения на 36 получаем 66 < x < 135/2. Подходящие целые x: 67; соседние целые 66 и 68 выходят за границы либо равны им.
24. Ответ: 43/29. После умножения на 29 получаем 464/11 < x < 87/2. Подходящие целые x: 43; соседние целые 42 и 44 выходят за границы либо равны им.

Два разбора для самостоятельного объяснения

Почему нельзя выбрать границу? В строгом неравенстве 7/5 < x/12 < 3/2 значение x/12 = 3/2 было бы допустимо только при знаке ≤, поэтому x = 18 не включают. Аналогично нельзя брать x = 16: 16/12 ниже 7/5.

Почему промежуточную дробь нельзя путать с арифметическим средним? Для 7/5 и 3/2 дробь 10/7 действительно находится между границами, а их полусумма — другое число. Оба способа могут дать правильную дробь, но выражения (7+3)/(5+2) и (7/5+3/2)/2 различны. Прежде чем применять правило, проверьте порядок границ.

После работы полезно объяснить соседу один из ответов уровня 3 без калькулятора: нужно умножить дробные границы на положительный знаменатель, найти целые числа строго внутри полученного промежутка и вернуться к дробям. Это универсальная проверка на пропущенные решения.