Подбор двух чисел по сумме и произведению для 8 класса — упражнения с разбором

Даны сумма S и произведение Q двух действительных чисел. Требуется восстановить сами числа, а не только знак каждого из них. Порядок чисел здесь не существенен, если в задании специально не просят упорядоченную пару. Это отдельный навык: суммы уже известны, системы двух квадратных уравнений решать не требуется.

Пошаговый способ: от условия к квадратному уравнению

1. Обозначьте искомые числа u и v. Запишите u + v = S и uv = Q.
2. Выразите v = S − u и подставьте: u(S − u) = Q. После переноса получится u² − Su + Q = 0.
3. Вычислите дискриминант D = S² − 4Q. Если D < 0, действительных чисел с такими суммой и произведением не существует. Если D = 0, числа совпадают. Если D > 0, получите оба корня.
4. Проверяйте оба условия: сумма найденных значений должна быть S, произведение — Q. Если в задаче фигурируют люди, размеры или цены, дополнительно проверьте ограничения на знак и единицы.

Три примера с решениями

1. Положительная пара. S = 11, Q = 24. Уравнение t² − 11t + 24 = 0, D = 121 − 96 = 25; корни (11 ± 5)/2 дают 8 и 3. Проверка: 8 + 3 = 11, 8 · 3 = 24.
2. Разные знаки. S = −1, Q = −20. t² + t − 20 = 0, D = 1 + 80 = 81; t = (−1 ± 9)/2, значит 4 и −5. Проверьте: 4 − 5 = −1, 4 · (−5) = −20.
3. Невозможное условие. S = 2, Q = 5. D = 4 − 20 = −16. Реальной пары нет, и это не повод выдавать комплексные корни в задании для 8 класса.

Задачи с частичными подсказками

1. Сумма 7, произведение 12. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
2. Сумма -6, произведение 5. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
3. Сумма 5, произведение -14. Найдите два действительных числа. Подсказка: при Q < 0 числа разных знаков.
4. Сумма 10, произведение 25. Найдите два действительных числа. Подсказка: проверьте сначала знак D.
5. Сумма 1, произведение -12. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
6. Сумма -7, произведение -18. Найдите два действительных числа. Подсказка: при Q < 0 числа разных знаков.
7. Сумма 7, произведение 6. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
8. Сумма -11, произведение 28. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
9. Сумма 5, произведение 6. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
10. Сумма -8, произведение 0. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
11. Сумма 5, произведение -24. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.
12. Сумма 0, произведение -4. Найдите два действительных числа. Подсказка: при Q < 0 числа разных знаков.
13. Сумма 13, произведение 42. Найдите два действительных числа. Подсказка: проверьте сначала знак D.
14. Сумма 2, произведение 1. Найдите два действительных числа. Подсказка: проверьте сначала знак D.
15. Сумма 4, произведение 8. Найдите два действительных числа. Подсказка: проверьте сначала знак D.
16. Сумма 6, произведение 5. Найдите два действительных числа. Запишите t² − St + Q = 0.

Полные ответы по шагам

1. D = 1; числа 3 и 4. Проверка: 3 + (4) = 7; 3 · (4) = 12.
2. D = 16; числа -5 и -1. Проверка: -5 + (-1) = -6; -5 · (-1) = 5.
3. D = 81; числа -2 и 7. Проверка: -2 + (7) = 5; -2 · (7) = -14.
4. D = 0; числа 5 и 5. Проверка: 5 + (5) = 10; 5 · (5) = 25.
5. D = 49; числа -3 и 4. Проверка: -3 + (4) = 1; -3 · (4) = -12.
6. D = 121; числа -9 и 2. Проверка: -9 + (2) = -7; -9 · (2) = -18.
7. D = 25; числа 1 и 6. Проверка: 1 + (6) = 7; 1 · (6) = 6.
8. D = 9; числа -7 и -4. Проверка: -7 + (-4) = -11; -7 · (-4) = 28.
9. D = 1; числа 2 и 3. Проверка: 2 + (3) = 5; 2 · (3) = 6.
10. D = 64; числа -8 и 0. Проверка: -8 + (0) = -8; -8 · (0) = 0.
11. D = 121; числа -3 и 8. Проверка: -3 + (8) = 5; -3 · (8) = -24.
12. D = 16; числа -2 и 2. Проверка: -2 + (2) = 0; -2 · (2) = -4.
13. D = 1; числа 6 и 7. Проверка: 6 + (7) = 13; 6 · (7) = 42.
14. D = 0; числа 1 и 1. Проверка: 1 + (1) = 2; 1 · (1) = 1.
15. D = 4² − 4·(8) = -16 < 0; действительных чисел нет.
16. D = 16; числа 1 и 5. Проверка: 1 + (5) = 6; 1 · (5) = 5.

Не путайте с угадыванием

Для маленьких целых чисел полезно быстро перебирать пары делителей произведения. Однако перебор не объясняет, почему решений больше нет, и работает плохо при дробных корнях. Квадратное уравнение даёт доказательный ответ: D > 0 — два различных числа, D = 0 — два равных значения, D < 0 — действительных чисел нет.

Если Q положительно, оба числа одного знака, но знак определяет их сумма: например, сумма отрицательна — оба отрицательны. При Q = 0 одно число равно нулю; если и сумма ноль, оба равны нулю. При Q отрицательно числа противоположных знаков. Эти быстрые проверки помогают обнаружить ошибку знака в формуле.

В записи t² − St + Q = 0 знак перед S противоположен знаку заданной суммы: когда S = −6, получается t² + 6t + Q = 0. Перед переносом проверьте, не превратилась ли сумма в произведение.

Самоконтроль: где именно возникает ошибка

Проверяйте не только найденные числа, но и интерпретацию условия. Если требуется две цены, они не могут быть отрицательными. Если речь о двух целых количествах предметов, дробный ответ математически может решать уравнение, но не удовлетворяет задаче на целые предметы. В этой карточке все обычные вычислительные задания сформулированы для действительных чисел, поэтому никакие дополнительные ограничения придумывать нельзя. Особое условие нужно читать буквально: не стоит отвергать отрицательные решения только потому, что большинство тренировочных примеров начинаются с положительных чисел.

Проверка «наоборот» часто занимает меньше времени, чем повторное решение: сложите ответ и умножьте его компоненты. Например, числа −4 и −7 дают сумму −11 и произведение +28. Ошибка знака в произведении сразу заметна. Для чисел 0 и −8 сумма −8, произведение 0; ноль здесь полноценное действительное число, поэтому его не вычёркивают. Если D = 0, уравнение имеет один отличный корень, который используется два раза: например, числа 5 и 5 при сумме 10 и произведении 25.

Если под квадратным корнем получился D, который не является полным квадратом, не заменяйте √D приблизительным целым числом. Можно оставить точные выражения (S ± √D)/2 и проверить их алгебраически. Если задача допускает приближения, указывайте погрешность и не выдавайте округлённую пару за точное решение.