Подбор пропущенного слагаемого с разными знаками перед скобками — математический практикум для 7 класса

7 класс · Алгебра · 1295. Рабочий лист по восстановлению одного неизвестного одночлена внутри скобок. Цель — не потерять знак при раскрытии и уметь доказать ответ обратной подстановкой.

Памятка перед самостоятельной работой

Если перед скобками стоит «+», знаки слагаемых сохраняются. Если стоит «−», при раскрытии каждый знак меняется. Пропуск □ обозначает один одночлен — число, число с x или число с x². Требуется найти именно то слагаемое, которое делает равенство тождеством, то есть верным при любом x.

Для равенства A + (B + □) = T подставляем □ = T − A − B. Для A − (B + □) = T получаем □ = A − B − T. Проверяйте себя не одним значением x, а раскрытием скобок и приведением подобных членов.

Образец. (2x² + x − 5) − (x² − 3x + □) = x² + 4x − 9. Сначала известная часть равна x² + 4x − 5. Чтобы справа стало −9, необходимо −□ = −4, то есть □ = 4. Проверка: x² + 4x − 5 − 4 = x² + 4x − 9.

Вариант А · девять заданий

Работайте без подсказок. Сначала перепишите выражение так, чтобы неизвестное слагаемое оказалось отдельно; затем выполните обратную проверку.

1. (5x² + 5x + 7) + (5x² − 2x + 8 + □) = 10x² + 3x + 18. Найдите □ и проверьте равенство.
2. (−2x² + 3x + 10) − (−4x² − 3x + 7 + □) = 2x² + 14x + 3. Найдите □ и проверьте равенство.
3. (3x² + 7x + 7) − (2x² + 2x − 5 + □) = 8x² + 5x + 12. Найдите □ и проверьте равенство.
4. (5x² + 3x + 9) + (−x² + 3x − 3 + □) = 4x² + 6x + 13. Найдите □ и проверьте равенство.
5. (−2x² + 5x + 10) + (−2x² + 6x + 1 + □) = −4x² + 6x + 11. Найдите □ и проверьте равенство.
6. (−2x² + 2x + 5) − (−4x + 2 + □) = −8x² + 6x + 3. Найдите □ и проверьте равенство.
7. (−2x² + 5x − 5) − (x² − 4x + 4 + □) = −3x² + 9x − 5. Найдите □ и проверьте равенство.
8. (3x² − 4x + 2) + (x² − 5x − 8 + □) = 4x² − 15x − 6. Найдите □ и проверьте равенство.
9. (−4x² − 4x + 3) + (−1 + □) = 4x² − 4x + 2. Найдите □ и проверьте равенство.

Вариант Б · изменённые знаки и степени

В этом варианте не всегда пропущено число: иногда неизвестный одночлен содержит x или x². Особенно внимательно следите за внешним минусом.

10. (x² − 4x + 6) − (−2x² + x − 8 + □) = 3x² − 5x + 9. Найдите □ и проверьте равенство.
11. (3x² + 5x − 2) − (3x² − 4x − 3 + □) = 2x + 1. Найдите □ и проверьте равенство.
12. (−2x² + 3x − 8) + (−2x² + 2x − 6 + □) = x² + 5x − 14. Найдите □ и проверьте равенство.
13. (3x² + 2x + 5) + (−3x + 7 + □) = 3x² − x + 19. Найдите □ и проверьте равенство.
14. (−4x² − 6x) − (−2x² + 6x − 6 + □) = −2x² − 7x + 6. Найдите □ и проверьте равенство.
15. (−4x² − 4x + 10) − (2x² − 2x + 5 + □) = −10x² − 2x + 5. Найдите □ и проверьте равенство.
16. (3x² + 2x − 9) + (2x² + 6x + 6 + □) = 5x² + 8x − 10. Найдите □ и проверьте равенство.
17. (x² + 2x − 3) + (2x² + 8 + □) = 3x² − 2x + 5. Найдите □ и проверьте равенство.
18. (−2x² + 2x − 6) − (4x² + 4x + 3 + □) = −13x² − 2x − 9. Найдите □ и проверьте равенство.

Ключ и пояснения для учителя

Каждое равенство проверено алгебраическим раскрытием скобок. Если ученик написал правильный одночлен, но изменил знак перед внутренними скобками, разберите операцию «вычесть сумму» как отдельное действие.

1. □ = 3. Из тождества следует □ = T − A − B = 3. После подстановки левая часть сводится к 10x² + 3x + 18; знаки всех одночленов совпадают.
2. □ = −8x. Из тождества следует □ = A − B − T = −8x. После подстановки левая часть сводится к 2x² + 14x + 3; знаки всех одночленов совпадают.
3. □ = −7x². Из тождества следует □ = A − B − T = −7x². После подстановки левая часть сводится к 8x² + 5x + 12; знаки всех одночленов совпадают.
4. □ = 7. Из тождества следует □ = T − A − B = 7. После подстановки левая часть сводится к 4x² + 6x + 13; знаки всех одночленов совпадают.
5. □ = −5x. Из тождества следует □ = T − A − B = −5x. После подстановки левая часть сводится к −4x² + 6x + 11; знаки всех одночленов совпадают.
6. □ = 6x². Из тождества следует □ = A − B − T = 6x². После подстановки левая часть сводится к −8x² + 6x + 3; знаки всех одночленов совпадают.
7. □ = −4. Из тождества следует □ = A − B − T = −4. После подстановки левая часть сводится к −3x² + 9x − 5; знаки всех одночленов совпадают.
8. □ = −6x. Из тождества следует □ = T − A − B = −6x. После подстановки левая часть сводится к 4x² − 15x − 6; знаки всех одночленов совпадают.
9. □ = 8x². Из тождества следует □ = T − A − B = 8x². После подстановки левая часть сводится к 4x² − 4x + 2; знаки всех одночленов совпадают.
10. □ = 5. Из тождества следует □ = A − B − T = 5. После подстановки левая часть сводится к 3x² − 5x + 9; знаки всех одночленов совпадают.
11. □ = 7x. Из тождества следует □ = A − B − T = 7x. После подстановки левая часть сводится к 2x + 1; знаки всех одночленов совпадают.
12. □ = 5x². Из тождества следует □ = T − A − B = 5x². После подстановки левая часть сводится к x² + 5x − 14; знаки всех одночленов совпадают.
13. □ = 7. Из тождества следует □ = T − A − B = 7. После подстановки левая часть сводится к 3x² − x + 19; знаки всех одночленов совпадают.
14. □ = −5x. Из тождества следует □ = A − B − T = −5x. После подстановки левая часть сводится к −2x² − 7x + 6; знаки всех одночленов совпадают.
15. □ = 4x². Из тождества следует □ = A − B − T = 4x². После подстановки левая часть сводится к −10x² − 2x + 5; знаки всех одночленов совпадают.
16. □ = −7. Из тождества следует □ = T − A − B = −7. После подстановки левая часть сводится к 5x² + 8x − 10; знаки всех одночленов совпадают.
17. □ = −4x. Из тождества следует □ = T − A − B = −4x. После подстановки левая часть сводится к 3x² − 2x + 5; знаки всех одночленов совпадают.
18. □ = 7x². Из тождества следует □ = A − B − T = 7x². После подстановки левая часть сводится к −13x² − 2x − 9; знаки всех одночленов совпадают.

Как оценивать: по одному баллу за корректное восстановление и по одному за самостоятельную проверку любого выбранного задания. При систематической ошибке попросите сначала раскрыть скобки карандашом и подписать знак у каждого одночлена.

Как объяснить два вида знаков перед скобками

Сравните два почти одинаковых равенства. В первом (3x² − 2x + 7) − (x² + 4x − 3 + □) = 2x² − 6x + 1; известная часть после раскрытия скобок даёт 2x² − 6x + 10. Следовательно, вычитаемое неизвестное равно 9. Во втором (5x² − 4x + 3) + (2x² + x − 2 + □) = 7x² − 3x + 8; без пропуска получаем 7x² − 3x + 1, значит □=7. Изменился только внешний знак, но алгоритм восстановления тоже изменился.

Полезно проговорить вслух: внешний минус относится ко всем частям внутренних скобок, в том числе к неизвестной. Если ребёнок получил ответ с противоположным знаком, предложите сначала заменить □ любой буквой, например t, и раскрыть скобки как обычно. Тогда знак перед t становится виден до подбора значения.

Проверка результата двумя независимыми способами

Первый способ — привести многочлен слева к стандартному виду и сравнить коэффициенты при x², x и свободные члены с правой частью. Второй — временно подставить x=0 и x=2, чтобы обнаружить вычислительную ошибку. Но два совпадения в отдельных точках сами по себе не доказывают тождество; основная проверка остаётся алгебраической.

Обратите внимание на случаи, когда искомое слагаемое имеет вид −5x². Тогда запись «+ □» с таким значением означает прибавление отрицательного одночлена. Это не противоречие: плюс показывает действие над всем неизвестным слагаемым, а минус является знаком самого одночлена. Для вычитания отрицательного слагаемого результат, напротив, увеличивается.

Дифференциация: ученику, который только осваивает скобки, дайте сначала задания с пропущенным числом; уверенно работающему — с неизвестным x². В обоих вариантах запрещайте угадывание по отдельной подстановке: ученику необходимо объяснить, почему равенство верно для всех x.