Подбор пропущенного слагаемого с взаимным уничтожением старших членов — карточки с ответами, 7 класс

7 класс · Алгебра · 1297. Карточки на восстановление одночлена, который уничтожает старший член многочлена. Важно отличать уменьшение степени всего многочлена от уменьшения числового коэффициента.

Пять ошибок, которые нужно исправить

1. (6x² − 4x + 2) + □ = −4x + 2. Ученик написал □ = 6x². Найдите ошибку и запишите правильное □.
2. (−5x³ + 2x − 7) + □ = 2x − 7. Ученик написал □ = −5x³. Найдите ошибку и запишите правильное □.
3. (3x² + 4x + 1) − □ = 4x + 1. Ученик написал □ = −3x². Найдите ошибку и запишите правильное □.
4. (−8x² + x + 6) + □ = x + 6. Ученик написал □ = −8x². Найдите ошибку и запишите правильное □.
5. (4x³ − 6x² + 5) + □ = −6x² + 5. Ученик написал □ = −4x². Найдите ошибку и запишите правильное □.

Закрепление: одночлен против старшей степени

Определите пропущенное слагаемое так, чтобы из многочлена степени 2 или 3 вышло выражение меньшей степени. Если указано вычитание □, его знак учитывайте отдельно.

6. (11x³ + 3x² + 5x − 1) − □ = 3x² + 5x − 1. Найдите один подходящий одночлен □.
7. (8x² − 4x − 2) + □ = −4x − 2. Найдите один подходящий одночлен □.
8. (8x² + 6x − 2) − □ = 6x − 2. Найдите один подходящий одночлен □.
9. (−5x³ + 2x² + 3x + 7) + □ = 2x² + 3x + 7. Найдите один подходящий одночлен □.
10. (−7x² − 7x + 5) − □ = −7x + 5. Найдите один подходящий одночлен □.
11. (−7x² − 2x + 9) + □ = −2x + 9. Найдите один подходящий одночлен □.
12. (−10x³ + x² − 7x − 6) − □ = x² − 7x − 6. Найдите один подходящий одночлен □.
13. (6x² + 5x − 8) + □ = 5x − 8. Найдите один подходящий одночлен □.
14. (8x² − 2x − 3) − □ = −2x − 3. Найдите один подходящий одночлен □.
15. (−9x³ − 3x² + 3x − 7) + □ = −3x² + 3x − 7. Найдите один подходящий одночлен □.

Ответы с объяснениями

Исправление ошибок

1. □ = −6x². Чтобы убрать +6x², прибавляют противоположный одночлен −6x². Обратная подстановка уничтожает старший член.
2. □ = 5x³. У отрицательного старшего члена противоположный коэффициент положительный. Обратная подстановка уничтожает старший член.
3. □ = 3x². Здесь слагаемое вычитают; минус перед □ уже присутствует. Обратная подстановка уничтожает старший член.
4. □ = 8x². Взаимно уничтожаются −8x² и +8x², а не два отрицательных члена. Обратная подстановка уничтожает старший член.
5. □ = −4x³. Должна исчезнуть третья степень; одночлен другой степени её не устранит. Обратная подстановка уничтожает старший член.

Новая серия

6. □ = 11x³. Коэффициент при x³ после учёта знака перед □ должен стать нулём: 11 − (11) = 0. Остальные члены дают 3x² + 5x − 1.
7. □ = −8x². Коэффициент при x² после учёта знака перед □ должен стать нулём: 8 + (-8) = 0. Остальные члены дают −4x − 2.
8. □ = 8x². Коэффициент при x² после учёта знака перед □ должен стать нулём: 8 − (8) = 0. Остальные члены дают 6x − 2.
9. □ = 5x³. Коэффициент при x³ после учёта знака перед □ должен стать нулём: -5 + (5) = 0. Остальные члены дают 2x² + 3x + 7.
10. □ = −7x². Коэффициент при x² после учёта знака перед □ должен стать нулём: -7 − (-7) = 0. Остальные члены дают −7x + 5.
11. □ = 7x². Коэффициент при x² после учёта знака перед □ должен стать нулём: -7 + (7) = 0. Остальные члены дают −2x + 9.
12. □ = −10x³. Коэффициент при x³ после учёта знака перед □ должен стать нулём: -10 − (-10) = 0. Остальные члены дают x² − 7x − 6.
13. □ = −6x². Коэффициент при x² после учёта знака перед □ должен стать нулём: 6 + (-6) = 0. Остальные члены дают 5x − 8.
14. □ = 8x². Коэффициент при x² после учёта знака перед □ должен стать нулём: 8 − (8) = 0. Остальные члены дают −2x − 3.
15. □ = 9x³. Коэффициент при x³ после учёта знака перед □ должен стать нулём: -9 + (9) = 0. Остальные члены дают −3x² + 3x − 7.

Проверка вне типичного случая: два члена с одинаковой наибольшей степенью могут сократиться, но следующий по степени остаётся. Например, 5x³ − 5x³ + 7x² имеет степень 2, а не 3 и не 0. Не допускайте смешения понятий «степень члена» и «число слагаемых».

Зачем уничтожать именно старший член

Степень многочлена — наибольшая степень переменной с ненулевым коэффициентом после приведения подобных членов. Пока присутствует 6x³, всё выражение имеет степень 3, даже если остальные слагаемые содержат только x или числа. Если добавить −6x³, старший член исчезнет. При этом степень результата определяется следующим ненулевым членом; она может стать второй, первой или нулевой.

Нельзя определить требуемый пропуск по одному сравнению числовых значений: например, при x=0 любой член вида cx³ обращается в нуль, и по такой подстановке невозможно восстановить c. Здесь нужен баланс коэффициентов при одинаковой степени, а не совпадение результатов при специальном x.

Проверим случай с внешним минусом: (7x² − 3x + 1) − □ = −3x + 1. Чтобы убрать +7x², вычитаем именно +7x². Пропуск □=7x², хотя итоговое изменение в выражении отрицательное. Смена роли знака действия и знака найденного одночлена — типичная ловушка проверочной работы.

Если исходный многочлен имеет вид 4x³ − 2x² + 9x, достаточно убрать 4x³, чтобы старшим стал −2x². Но равенство нулю от этого не получится, поскольку остаются ещё два ненулевых слагаемых. Предложите ученику отдельно ответить на вопросы «какая степень была?» и «какая степень стала?» после восстановления пропуска.

Как разбирать неверные рассуждения

Ошибка первого типа — взять слагаемое с тем же знаком вместо противоположного. Ошибка второго — спутать сложение и вычитание □. Ошибка третьего — уничтожить член при x вместо члена при x³. Ошибка четвёртого типа — считать нулевым весь многочлен только потому, что исчез его старший член. Пятая ошибка — не убедиться, что остальные слагаемые в правой и левой частях действительно совпадают.

Мини-критерий: поставьте за каждый исправленный пример один балл за верный знак и один балл за объяснение причины. За самостоятельные задания оценивайте как восстановление, так и проверку степени результата. Такой подход позволяет увидеть, понимает ли ученик идею сокращения старших членов, а не просто вспоминает правило «поменять знак».