Подсчёт числа допустимых расположений при размещении предметов по ящикам — упражнения разной сложности, 10 класс

Математика, 10 класс. Практикум о распределении разных и одинаковых предметов по подписанным ящикам: способ счёта зависит от ограничений, а не только от чисел.

Ошибки, с которых начинается урок

Представьте, что на парте лежат коробки с номерами. Главное — не перепутать: у разных предметов есть индивидуальность, а у одинаковых важны только количества. Другой вопрос: могут ли коробки быть пустыми и разрешено ли несколько предметов в одной.

Пять неверных решений: найдите причину и исправьте

1. Найдите неверный ход и восстановите число размещений. Четыре разных сувенира разложены по трём подписанным ящикам. Ученик написал 3! = 6.
2. Найдите неверный ход и восстановите число размещений. Пять одинаковых шариков распределяют по двум подписанным коробкам; пустые разрешены. Ученик ответил 2⁵ = 32.
3. Найдите неверный ход и восстановите число размещений. Три разных письма распределяют по двум разным папкам, обе должны получить хотя бы одно. Ученик написал 2³ = 8.
4. Найдите неверный ход и восстановите число размещений. Три одинаковых жетона кладут в четыре подписанные ячейки, пустые разрешены. Ученик написал C(3,4).
5. Найдите неверный ход и восстановите число размещений. Пять разных книг распределяют по семи подписанным полкам, на каждой не более одной. Ученик вычислил 7⁵.

Как выбрать метод до счёта

Самостоятельные задачи 6–15: от прямого подсчёта до ограничений

6. Четыре разных кубика по двум помеченным ящикам, пустые разрешены.
7. Шесть одинаковых фишек по трём разным банкам, пустые разрешены.
8. Пять разных карточек по двум папкам, обе непустые.
9. Четыре одинаковые монеты по трём подписанным ящикам, все непустые.
10. Пять разных призов по трём подписанным коробкам, ровно два приза в первой.
11. Четыре разных письма по четырём разным конвертам, не более одного письма в конверте.
12. Шесть одинаковых кубиков по четырём подписанным ящикам, пустые разрешены.
13. Три разных сувенира по пяти подписанным витринам, на витрине максимум один.
14. Четыре разных пакета по трём шкафчикам, ровно один пакет в первом.
15. Пять одинаковых фишек по трём помеченным коробкам, все непустые.

Проверка типичных ошибок

1. Разбор: В каждом из четырёх независимых выборов есть три ящика: 3⁴ = 81; переставлять сами ящики нельзя.
2. Разбор: Важны количества (0,5), (1,4), …, (5,0): 6, а не 32. Шарики неразличимы.
3. Разбор: Вычитаем две рассылки, где всё оказалось в одной папке: 8 − 2 = 6.
4. Разбор: C(3 + 4 − 1,4 − 1) = C(6,3) = 20: число решений x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 3, xᵢ ≥ 0.
5. Разбор: Последовательный выбор свободной полки: 7·6·5·4·3 = 2 520. Повторно занять полку нельзя.

Обратная проверка на очень маленьких наборах

Две одинаковые монеты в двух подписанных коробках дают ровно три распределения: (2,0), (1,1), (0,2). Если бы монеты считались различными, вариантов было бы четыре: для каждой монеты два независимых назначения. Это короткий тест на понимание модели. При одинаковых предметах перестановка предметов внутри ящика не создаёт нового исхода, а при разных предметах замена одного другим уже меняет распределение.

При условии «все коробки непустые» необходимо заранее проверить возможность такого размещения. Пять одинаковых жетонов нельзя разложить по шести подписанным коробкам, положив хотя бы один в каждую: ответ равен нулю. В формуле C(n−1,m−1) поэтому обязательно условие n ≥ m. Если в условии присутствует ограничение на вместимость отдельного ящика, универсальная формула свободного распределения уже может не подходить, и нужно учитывать этот запрет отдельно.

Ответы к самостоятельной серии

1. Разбор: 2⁴ = 16; каждый кубик независимо выбирает ящик.
2. Разбор: C(6 + 3 − 1,3 − 1) = C(8,2) = 28.
3. Разбор: 2⁵ − 2 = 30: вычтены две ситуации с пустой папкой.
4. Разбор: C(4 − 1,3 − 1) = C(3,2) = 3 распределения.
5. Разбор: C(5,2)·2³ = 80: выбираем два предмета в первую коробку, остальные независимо отправляем в две другие.
6. Разбор: 4! = 24: выбираем биекцию между письмами и конвертами.
7. Разбор: C(6 + 4 − 1,4 − 1) = C(9,3) = 84.
8. Разбор: 5·4·3 = 60.
9. Разбор: C(4,1)·2³ = 32. Остальные три могут оказаться в любой из двух других.
10. Разбор: C(5 − 1,3 − 1) = C(4,2) = 6.

Обратная проверка: для небольшого числа одинаковых предметов перечислите векторы количеств. Для разных предметов попробуйте выписать назначения каждого предмета, не переставляя их номера. Если условие не говорит, что коробки неразличимы, надписи на них сохраняются: обмен содержимым двух коробок обычно создаёт другое распределение.

Для самопроверки. Проверьте три вопроса до применения формулы: различимы ли предметы, различимы ли ящики, разрешены ли пустые места.