Подсчёт точек минимума по графику производной — проверочная работа, 11 класс

Проверочная работа: счёт минимумов по графику f′. Здесь рассматриваются строгие локальные минимумы исходной функции во внутренних точках указанного отрезка. График производной задан перечисленными узлами, соединёнными отрезками, поэтому дополнительных пересечений между узлами нет.

Содержание статьи6 разделов

Памятка к проверочной

Когда f′ < 0, функция убывает; после перехода f′ через 0 снизу вверх функция начинает возрастать. На этой границе возникает строгий локальный минимум. Если f′ меняет знак с плюса на минус, это максимум, а не минимум. Нуль производной без смены знака не определяет экстремум. Рассматривайте знак слева и справа, а не высоту точки на рисунке.

Серия I. Базовая диагностика (1–6)

Для каждого графика восстановите знак f′ и найдите минимумы. Ответ запишите в форме «количество; абсциссы». Достаточно показать стрелки убывания и возрастания.

  1. Точки графика f′: (-3; -2); (-1; 0); (1; 2); (3; 1). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  2. Точки графика f′: (0; 2); (2; -2); (4; 2); (6; -2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  3. Точки графика f′: (-4; -1); (-2; -3); (0; -1); (2; 1). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  4. Точки графика f′: (0; -2); (2; 2); (4; -2); (6; 2); (8; -2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  5. Точки графика f′: (-3; 0); (-1; -2); (1; 2); (3; 0). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  6. Точки графика f′: (0; 3); (2; 0); (4; 3); (6; -1). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.

Серия II. Несколько перемен направления (7–12)

Здесь могут встречаться и максимумы, и минимумы. Считайте только минимумы. Если переход лежит между узлами, найдите пересечение прямого отрезка с горизонтальной осью.

  1. Точки графика f′: (0; -3); (1; 3); (2; -3); (3; 3). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  2. Точки графика f′: (-4; 2); (-2; -2); (0; 2); (2; -2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  3. Точки графика f′: (0; -3); (2; 0); (4; 0); (6; 2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы. Проверьте влияние нулевого отрезка.
  4. Точки графика f′: (-2; 2); (0; -2); (2; 0); (4; 2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  5. Точки графика f′: (0; -2); (2; 2); (4; 2); (6; -2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  6. Точки графика f′: (1; -1); (3; 1); (5; -1); (7; 1). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.

Серия III. Пограничные случаи (13–18)

Учитывайте касание нуля производной, горизонтальные участки на оси и граничные точки, которые не считаются внутренними локальными минимумами. При горизонтальном нулевом участке само наличие нуля недостаточно для строгого минимума.

  1. Точки графика f′: (-4; -2); (-2; 2); (0; -2); (2; 2); (4; -2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  2. Точки графика f′: (0; 0); (2; -1); (4; 0); (6; 2). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  3. Точки графика f′: (-3; 3); (-1; -3); (1; 3); (3; -3); (5; 3). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  4. Точки графика f′: (0; -2); (2; 1); (4; 2); (6; -1). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.
  5. Точки графика f′: (-2; 2); (0; 0); (2; 0); (4; 3). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы. Проверьте влияние нулевого отрезка.
  6. Точки графика f′: (0; -1); (1; 0); (3; -2); (5; -1). Между соседними точками график прямолинеен. Найдите число точек минимума f и их абсциссы.

Ответы к трём сериям

№ Число минимумов Абсциссы Критерий
1 1 -1 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
2 1 3 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
3 1 1 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
4 2 1, 5 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
5 1 0 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
6 0 нет Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
7 2 1/2, 5/2 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
8 1 -1 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
9 0 нет Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
10 1 2 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
11 1 1 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
12 2 2, 6 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
13 2 -3, 1 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
14 1 4 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
15 2 0, 4 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
16 1 4/3 Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
17 0 нет Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.
18 0 нет Только переход − → + даёт строгий минимум; касания и нулевые участки отдельно проверены.

Четыре правила самопроверки

1. Для каждого предполагаемого минимума найдите x₀, где f′ = 0. 2. Слева от x₀ проверьте отрицательный знак, справа положительный. 3. Если обе стороны одного знака, минимум не засчитывайте. 4. Не включайте края заданного интервала в число внутренних экстремумов.

Оценивание: 2 балла за задание (один за верное количество, один за абсциссы). Максимум 36 баллов. 32–36 — высокий результат; 25–31 — ещё раз проверьте направления переходов; менее 25 — повторите определения роста и убывания. Отдельные нулевые участки следует рассматривать осторожно: если на них f постоянна, строгого минимума в любой внутренней точке плато нет.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым