Подстановка рациональных чисел в буквенные выражения — задачи и ответы, 7 класс

Практикум по алгебре для 7 класса: вместо букв подставляем целые, отрицательные и обыкновенные дроби, соблюдаем порядок действий и умеем объяснять знак ответа. Всего 26 заданий четырёх уровней сложности, ключи после всех упражнений. Запись a = −3/2 обозначает отрицательное число минус три вторых.

Маршрут работы: от одной переменной к нескольким

Алгоритм на примере 2a − b при a = −3/4 и b = 1/2: 2·(−3/4) − 1/2 = −3/2 − 1/2 = −2. Любое отрицательное значение удобно заключать в скобки, особенно если перед буквой стоит минус, а буква возводится в квадрат. Не путайте (−3)² = 9 и −3² = −9: внешнее отрицание выполняется после возведения в квадрат.

Исходная диагностика: один символ, одна ловушка — 6 заданий

1. 3a при a = −2. Найдите значение выражения.
2. a + 7 при a = −3/2. Найдите значение выражения.
3. −2x при x = 1/4. Найдите значение выражения.
4. 4 − b при b = −3. Найдите значение выражения.
5. x² при x = −3. Найдите значение выражения.
6. −x² при x = −3. Найдите значение выражения.

Проверьте исходный навык: за каждую подстановку запишите отдельную промежуточную строку. При умножении отрицательного числа на положительное ответ отрицателен; при вычислении квадрата отрицательного числа ответ положителен. Для дробных значений разумно сначала умножить целое число на числитель дроби и сократить результат, а не сразу переходить к десятичным приближениям.

Карточка базового уровня: две переменные и скобки — 8 заданий

1. 2a + b при a = −2, b = 5. Найдите значение выражения.
2. 5x − 2 при x = −3/5. Найдите значение выражения.
3. 3x + 2y при x = −1, y = 3/2. Найдите значение выражения.
4. 2a − b при a = −3/4, b = 1/2. Найдите значение выражения.
5. −a + b при a = −4, b = −1. Найдите значение выражения.
6. 4x − y при x = 1/2, y = −3. Найдите значение выражения.
7. 2a² при a = −2. Найдите значение выражения.
8. (a + b)² при a = −3, b = 1. Найдите значение выражения.

Отдельно проследите знак перед буквой: −a означает число, противоположное значению a. Если a = −4, то −a = +4. Ошибка возникает, когда знак «минус» при букве механически переносят в результат, не выполняя действие. Для записи «2a²» квадрат относится к a, а коэффициент 2 умножает получившийся квадрат.

Уровень уверенности: степени и дробные значения — 6 заданий

1. x² − 3x при x = −2. Найдите значение выражения.
2. 2(x − y) при x = −1/2, y = 3/2. Найдите значение выражения.
3. a² − b² при a = −5, b = 3. Найдите значение выражения.
4. −3a + 2b при a = 2/3, b = −1/2. Найдите значение выражения.
5. x² + x при x = −3/2. Найдите значение выражения.
6. (2a − b)/2 при a = −1, b = 4. Найдите значение выражения.

Сохраните точность: дробные ответы записывайте обыкновенными дробями в сокращённом виде. Например, 9/4 − 3/2 = 9/4 − 6/4 = 3/4. При ответах с несколькими буквами порядок действий начинается с внутренних скобок, затем степеней, умножения и деления; только после этого складываем и вычитаем.

Составные задания: объясни способ подстановки — 6 заданий

1. 5a − 2b при a = −1/2, b = 3/4. Найдите значение выражения.
2. 2(x + 3y) при x = −2, y = 1/3. Найдите значение выражения.
3. 3x² − 2x + 1 при x = −1. Найдите значение выражения.
4. x² − y² при x = 3/2, y = −1/2. Найдите значение выражения.
5. 4(a − b) − (a + b) при a = −2, b = 3. Найдите значение выражения.
6. (a + b)c при a = −1/2, b = 3/2, c = −4. Найдите значение выражения.

Для последних шести пунктов нужно не только найти число, но и показать минимум две строки вычислений: запись исходного выражения с подставленными значениями и строку упрощения. Если результат кажется неожиданным, проверьте каждое слагаемое отдельно. Даже отрицательный итог может быть правильным при положительном значении одной из переменных.

Ключ с объяснениями: диагностика

1. −6. Три одинаковых отрицательных слагаемых дают −6.
2. 11/2. Прибавление к −3/2 семи единиц даёт 11/2.
3. −1/2. Отрицательное число на положительную дробь даёт отрицательное произведение.
4. 7. Вычитание отрицательного заменяется прибавлением положительного.
5. 9. Квадрат отрицательного числа положителен: (−3) · (−3).
6. −9. Сначала квадрат x², потом внешний минус: −(−3)².

Ключ с объяснениями: базовая карточка

1. 1. Сначала 2 · (−2) = −4, затем прибавляем 5.
2. −5. 5 · (−3/5) = −3; затем вычитаем 2.
3. 0. −3 и +3 взаимно уничтожаются.
4. −2. −3/2 − 1/2 = −4/2.
5. 3. Противоположное к −4 равно +4.
6. 5. 4 · 1/2 = 2; вычитаем −3 и получаем 5.
7. 8. Сперва (−2)² = 4, потом умножаем на 2.
8. 4. Сумма −2, её квадрат 4.

Ключ с объяснениями: степени и дроби

1. 10. (−2)² = 4; 3·(−2) = −6; 4 − (−6) = 10.
2. −4. В скобках −1/2 − 3/2 = −2, далее ·2.
3. 16. Квадраты: 25 и 9. Вычитаем 9 из 25.
4. −3. −3·2/3 = −2; 2·(−1/2) = −1.
5. 3/4. 9/4 − 3/2 = 9/4 − 6/4.
6. −3. Числитель −2 − 4 = −6; делим на 2.

Ключ с объяснениями: составные задания

1. −4. −5/2 − 3/2 = −8/2.
2. −2. 3·1/3 = 1, в скобках −1; затем ×2.
3. 6. 3·1 − 2·(−1) + 1 = 3+2+1.
4. 2. 9/4 − 1/4 = 8/4.
5. −21. a−b=−5, a+b=1: 4·(−5)−1.
6. −4. a+b=1; 1·(−4)=−4.

Карта ошибок и независимая проверка

Ошибка 1 — неверный знак. При x=−2 произведение 3x отрицательно, а квадрат x² положителен. Сравните с коротким устным вычислением, не подставляя всю длинную формулу. Ошибка 2 — пропущенные скобки. При a=−3 нельзя менять 2a² на (2a)²: это два разных выражения. Ошибка 3 — дробные величины. Приведите дроби к одному знаменателю, затем сократите ответ.

Контрольная перепроверка: повторите задачу с подстановкой по действиям в обратном порядке: 1) отдельно найдите степень; 2) вычислите произведения; 3) выполните сумму или разность. Если решение в два способа дало разные результаты, ищите первую строку расхождения. Полезно проверить и оценку результата: например, 2(x+3y) при x=−2, y=1/3 должно быть отрицательным, поскольку внутри скобок −1.

Для самостоятельной работы: 1 балл за правильную числовую подстановку, 1 за вычисление; максимум 52. Учитель может дать задания 1–14 на стандартную проверку, 15–20 как дополнительный уровень и 21–26 как работу с объяснением. В тетради оставляйте место между пунктами для исправления хода рассуждений, а не только итогового числа.

Если ученики ещё не проходили отдельные приёмы действий с отрицательными дробями по своей программе, используйте соответствующие пункты после повторения дробей и порядка действий. Все задания решаются обычными арифметическими действиями; уравнения и преобразование сложных алгебраических дробей не требуются.

Дополнительные приёмы для сложных подстановок

Составное выражение удобно делить на смысловые блоки. Например, в 4(a − b) − (a + b) вычисляйте отдельно значения двух скобок, не раскрывая их заранее: при a = −2 и b = 3 первая скобка равна −5, вторая равна 1. Тогда всё выражение превращается в 4·(−5)−1. Такой порядок сокращает количество мест, где можно потерять знак. В выражениях без скобок, наоборот, удобно сначала выписать каждое произведение.

Рациональные числа включают целые и дробные числа, положительные, отрицательные и нуль. Слово «рациональный» не означает, что ответ обязательно будет дробью. Например, 3x + 2y при x = −1 и y = 3/2 становится −3 + 3 = 0. Нулевой ответ не следует считать ошибкой только из-за того, что в условии есть отрицательная дробь. Полезно заранее прикинуть знаки двух слагаемых: если они противоположные, возможно взаимное уничтожение.

Другая типичная ловушка связана с записью −x². При x = −3 внутри квадратной степени получается 9, а внешний минус даёт −9. Запись (−x)² при том же x, напротив, дала бы 9, поскольку противоположное значение −x равно +3. Ученик должен видеть, что степень действует только на свою основу, указанную прямо перед ней или внутри скобок. Не следует переносить скобки в записи произвольно.

Организация проверки в классе и дома

В парной работе один ученик читает выражение и значения переменных, другой переводит их в подстановку со скобками. После этого они меняются: проверяющий ищет знак перед отрицательным числом, показатель степени и общий знаменатель. Если вычисления расходятся, сравните не окончательные ответы, а самую первую строку после подстановки. Так исправляется причина ошибки, а не только число в конце.

Можно выполнить контроль без готового ключа: возьмите более простые значения букв и посмотрите, сохранился ли порядок действий. Например, для 2(x+3y) с x=0 и y=1 результат должен быть 6; эта проверка не подтверждает ответ исходного задания, но проверяет, что вы правильно поняли коэффициент 3 и внешнее умножение на 2. Затем вернитесь к исходным дробным значениям и выполните вычисление заново.