Поиск делителя по условию при делении с ограничением на остаток — задачи с решениями для 5 класса

В задачах этой серии делимое N и частное q известны, а делитель d нужно найти по условию на остаток r. Один и тот же числовой остаток иногда допускает несколько вариантов делителя; именно ограничение на остаток помогает выбрать верный ответ. Работа рассчитана на ученика 5 класса, знакомого с делением с остатком.

Базовый пример — подбираем остаток, а не угадываем делитель

Число 137 разделили на неизвестное натуральное число. Получили частное 6, а остаток меньше 10. Найдите делитель. Запись: 137 = 6 × d + r, 0 ≤ r < d. Проверим возможные делители: 20 даёт остаток 17, 21 — остаток 11, 22 — остаток 5. Только для d = 22 выполняется дополнительное ограничение r < 10. Ответ: 22. Проверка обратным действием: 6 × 22 + 5 = 137; 5 < 22 и 5 < 10.

Не выбирайте остаток произвольно. Для каждого возможного d он жёстко задаётся равенством r = N − q × d. Подсказка для поиска: поскольку r неотрицателен и меньше d, верны неравенства q × d ≤ N < (q + 1) × d. Здесь не требуется работать с дробями: можно перебрать ближайшие натуральные делители и проверить умножением.

Что меняется, если ограничение другое?

В каждой из задач ниже сначала выпишите все делители, которые вообще дают указанное частное, а затем отсекайте варианты по остатку. Иногда решение единственное, иногда подходящих делителей несколько, а иногда их нет. Если данных недостаточно, честный ответ — перечислить несколько возможных делителей.

1. 1. Число 154 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 7, а остаток положителен и не превышает 10. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
2. 2. Число 175 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 8, а остаток меньше 10. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
3. 3. Число 203 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 9, а остаток не превосходит 7. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
4. 4. Число 248 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 9, а остаток нечётный и меньше 10. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
5. 5. Число 183 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 7, а остаток чётный и не превышает 10. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
6. 6. Число 190 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 8, а остаток чётный и меньше 10. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
7. 7. Число 226 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 10, а остаток не больше 6. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
8. 8. Число 162 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 7, а остаток нечётный и не больше 3. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
9. 9. Число 257 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 11, а остаток чётный. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
10. 10. Число 149 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 6, а остаток положителен, делится на 5 и не больше 15. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
11. 11. Число 131 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 5, а остаток равен 5 или 10. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
12. 12. Число 133 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 8, а остаток нечётный и не больше 13. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
13. 13. Число 121 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 6, а остаток положителен и не больше 7. Найдите все допустимые делители и проверьте их.
14. 14. Число 168 разделили на неизвестный натуральный делитель; частное равно 11, а остаток меньше 5. Найдите все допустимые делители и проверьте их.

Решения с обратной проверкой

1. 1. Возможные пары: d = 20 (r = 14), d = 21 (r = 7), d = 22 (r = 0). Условию «остаток положителен и не превышает 10» отвечают d = 21 (r = 7). Обратная проверка: 7 × 21 + 7 = 154, 7 < 21.
2. 2. Возможные пары: d = 20 (r = 15), d = 21 (r = 7). Условию «остаток меньше 10» отвечают d = 21 (r = 7). Обратная проверка: 8 × 21 + 7 = 175, 7 < 21.
3. 3. Возможные пары: d = 21 (r = 14), d = 22 (r = 5). Условию «остаток не превосходит 7» отвечают d = 22 (r = 5). Обратная проверка: 9 × 22 + 5 = 203, 5 < 22.
4. 4. Возможные пары: d = 25 (r = 23), d = 26 (r = 14), d = 27 (r = 5). Условию «остаток нечётный и меньше 10» отвечают d = 27 (r = 5). Обратная проверка: 9 × 27 + 5 = 248, 5 < 27.
5. 5. Возможные пары: d = 23 (r = 22), d = 24 (r = 15), d = 25 (r = 8), d = 26 (r = 1). Условию «остаток чётный и не превышает 10» отвечают d = 25 (r = 8). Обратная проверка: 7 × 25 + 8 = 183, 8 < 25.
6. 6. Возможные пары: d = 22 (r = 14), d = 23 (r = 6). Условию «остаток чётный и меньше 10» отвечают d = 23 (r = 6). Обратная проверка: 8 × 23 + 6 = 190, 6 < 23.
7. 7. Возможные пары: d = 21 (r = 16), d = 22 (r = 6). Условию «остаток не больше 6» отвечают d = 22 (r = 6). Обратная проверка: 10 × 22 + 6 = 226, 6 < 22.
8. 8. Возможные пары: d = 21 (r = 15), d = 22 (r = 8), d = 23 (r = 1). Условию «остаток нечётный и не больше 3» отвечают d = 23 (r = 1). Обратная проверка: 7 × 23 + 1 = 162, 1 < 23.
9. 9. Возможные пары: d = 22 (r = 15), d = 23 (r = 4). Условию «остаток чётный» отвечают d = 23 (r = 4). Обратная проверка: 11 × 23 + 4 = 257, 4 < 23.
10. 10. Возможные пары: d = 22 (r = 17), d = 23 (r = 11), d = 24 (r = 5). Условию «остаток положителен, делится на 5 и не больше 15» отвечают d = 24 (r = 5). Обратная проверка: 6 × 24 + 5 = 149, 5 < 24.
11. 11. Возможные пары: d = 22 (r = 21), d = 23 (r = 16), d = 24 (r = 11), d = 25 (r = 6), d = 26 (r = 1). Ни один из остатков не удовлетворяет ограничению «остаток равен 5 или 10»; решений нет.
12. 12. Возможные пары: d = 15 (r = 13), d = 16 (r = 5). Условию «остаток нечётный и не больше 13» отвечают d = 15 (r = 13), d = 16 (r = 5). Обратная проверка: 8 × 15 + 13 = 133, 13 < 15; 8 × 16 + 5 = 133, 5 < 16.
13. 13. Возможные пары: d = 18 (r = 13), d = 19 (r = 7), d = 20 (r = 1). Условию «остаток положителен и не больше 7» отвечают d = 19 (r = 7), d = 20 (r = 1). Обратная проверка: 6 × 19 + 7 = 121, 7 < 19; 6 × 20 + 1 = 121, 1 < 20.
14. 14. Возможные пары: d = 15 (r = 3). Условию «остаток меньше 5» отвечают d = 15 (r = 3). Обратная проверка: 11 × 15 + 3 = 168, 3 < 15.

Почему обратная проверка обязательна. Равенство N = q × d + r подтверждает арифметику, но не гарантирует, что r — настоящий остаток: остаток должен быть меньше делителя. Дополнительные слова «чётный», «не больше 7», «положителен» проверяются отдельно.

Разбор типичной ошибки

Ученик рассуждает так: «В задаче с N = 133 и q = 8 остаток нечётный, значит делитель 16». Он нашёл подходящий вариант, но не проверил остальные. Делитель 15 тоже подходит: 8 × 15 + 13 = 133, 13 < 15 и 13 нечётно. Следовательно, нельзя объявлять единственным решением первое найденное число. Сравните этот случай с заданиями, где ограничение на остаток действительно оставляет один вариант.

Развёрнутый разбор: как менять условие и не терять решения

Рассмотрим задачу 1. Для числа 154 при частном 7 подходят только три делителя: 20, 21 и 22. С ними остатки будут соответственно 14, 7 и 0. Условие «положителен и не превышает 10» исключает 14 как слишком большой и 0 как неположительный. Остаётся делитель 21. Обратная проверка: 7 × 21 + 7 = 154, причём 7 меньше 21. Здесь каждое слово условия влияет на результат.

Если в той же задаче заменить слова «положителен и не превышает 10» на «меньше 15», решениями станут все три делителя: 20 (остаток 14), 21 (остаток 7) и 22 (остаток 0). Нулевой остаток тоже допускается при делении с остатком, если специально не требуется положительный. Поэтому слово «положителен» нельзя незаметно подменять словом «неотрицателен».

В задаче 11 нет ни одного допустимого делителя с остатком 5 или 10. Это не означает, что 131 нельзя разделить с частным 5 вообще: варианты делителей существуют, но соответствующие им остатки равны 21, 16, 11, 6 и 1. Ни один из этих остатков не совпадает с разрешёнными 5 или 10. Итог «нет решения» относится ко всем условиям одновременно.

В задаче 12 можно получить два ответа — 15 и 16. Оба дают частное 8, и оба дают нечётные остатки не больше 13. Чтобы сделать задачу однозначной, потребовалось бы новое ограничение, например «остаток меньше 10»: тогда остаётся делитель 16 и остаток 5. Это упражнение показывает, что одна арифметическая проверка не заменяет анализ полноты ответа.

Алгоритм ученику: пять шагов

1. Запишите деление с неизвестным делителем как N = q × d + r.
2. Учитывайте, что q положительно, d — натуральное, а r целое от нуля до d − 1.
3. Найдите все небольшие возможные d с помощью неравенств q × d ≤ N и N < (q + 1) × d.
4. Для каждого возможного делителя вычислите остаток N − q × d и примените именно дополнительное условие задачи.
5. Для каждого оставшегося варианта выполните обратную проверку; если вариантов ноль или несколько, укажите это в ответе.

Полезно вести две колонки: «арифметически возможен» и «соответствует словесному ограничению». Например, в задаче 5 делители 23, 24, 25 и 26 арифметически допустимы, но остатки 22, 15, 8 и 1 отличаются по чётности и величине. Только делитель 25 оставляет чётный остаток не больше десяти. Такой способ особенно помогает, если чисел много и легко потерять уже проверенный вариант.

Наконец, не путайте ограничения на делитель и остаток. Из фразы «остаток не больше 6» не следует «делитель не больше 6». Напротив, положительный делитель должен быть строго больше остатка. Здесь найдите делитель 22, а остаток будет 6: число 22 вполне может быть существенно больше указанной границы.

Если осталось время, сравните задачи 13 и 14. В задаче 13 остаток ограничен сверху, но подходящих делителей всё равно два. В задаче 14 без дополнительного ограничения арифметически возможен единственный делитель: 168 = 11 × 15 + 3, а 3 меньше 15. Ограничение «меньше 5» ничего не меняет. Следовательно, не каждое условие об остатке обязательно сужает количество ответов; иногда оно только подтверждает уже единственный вариант.

Учителю удобно предложить устное обсуждение: почему при большом частном q возможных делителей обычно немного? Между соседними делителями произведение q × d меняется сразу на q. Когда q достаточно велико по сравнению с делителем, переход к следующему d быстро выводит остаток за допустимые границы. Поэтому поиск здесь конечен и не требует перебора всех натуральных чисел.