Поиск делителя по условию при заданном частном и разности — рабочий лист для 5 класса

Два контрастных варианта отрабатывают поиск делителя по известному неполному частному и разности между делимым и делителем. Именно эта разность обозначена Δ; она не является остатком. Задания не требуют десятичных дробей и рассчитаны на аккуратную работу с границами.

Как восстановить делитель по разности

Пусть N — делимое, d — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Из условий N = qd + r и N − d = Δ следует Δ = (q − 1)d + r. Так как 0 ≤ r < d, справедливо (q − 1)d ≤ Δ < qd. Для q ≥ 2 получаем Δ / q < d ≤ Δ / (q − 1). Нужно перебрать только целые d в этом промежутке.

Образец: Δ = 41, q = 6. Неравенство 41/6 < d ≤ 41/5 даёт d = 7 или 8. Остаток r = 41 − 5d: при d = 7 это 6, при d = 8 это 1. Проверка: делимые N = Δ + d равны 48 и 49. Получаем 48 = 6 · 7 + 6 и 49 = 6 · 8 + 1.

Вариант А — сначала только две исходные величины

Здесь дано только Δ и q. Восстановите все возможные делители, затем найдите остатки и делимые. Не предполагайте, что во всех пунктах единственный ответ.

1. Разность N − d = 41, неполное частное 6. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
2. Разность N − d = 53, неполное частное 7. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
3. Разность N − d = 68, неполное частное 8. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
4. Разность N − d = 73, неполное частное 9. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
5. Разность N − d = 85, неполное частное 10. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
6. Разность N − d = 97, неполное частное 8. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
7. Разность N − d = 111, неполное частное 7. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.
8. Разность N − d = 119, неполное частное 9. Найдите все пары (d; r), затем восстановите N.

Вариант Б — с дополнительным фильтром

Здесь после основного интервала потребуется ещё одна проверка: условие на чётность, кратность, либо границу остатка. Запишите сначала всех кандидатов из неравенства, а затем зачеркните лишних.

1. Δ = 116, q = 6. Дополнительно: d чётный. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
2. Δ = 137, q = 7. Дополнительно: r меньше 10. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
3. Δ = 152, q = 8. Дополнительно: d нечётный. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
4. Δ = 173, q = 6. Дополнительно: r не меньше 10. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
5. Δ = 194, q = 9. Дополнительно: r меньше 5. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
6. Δ = 216, q = 7. Дополнительно: d делится на 3. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
7. Δ = 231, q = 8. Дополнительно: r чётный. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.
8. Δ = 247, q = 10. Дополнительно: r не больше 8. Найдите все подходящие делители и соответствующие делимые.

Взаимная проверка двух вариантов

• Первый ученик называет делитель d и остаток r; второй вычисляет N = Δ + d и убеждается, что N = q · d + r.
• Затем поменяйтесь ролями: у второго ученика остаётся проверка границы 0 ≤ r < d и дополнительного условия варианта Б.
• Если обнаружен лишний ответ, укажите, какое именно неравенство он нарушает. Ответ без проверки не считается полностью обоснованным.

Разбор неочевидных ответов

Ключ к варианту А

1. Δ = 41, q = 6. Целые d между 41/6 (не включая) и 41/5 (включая): 7, 8. Пары (d; r; N): (7; 6; 48), (8; 1; 49).
2. Δ = 53, q = 7. Целые d между 53/7 (не включая) и 53/6 (включая): 8. Пары (d; r; N): (8; 5; 61).
3. Δ = 68, q = 8. Целые d между 68/8 (не включая) и 68/7 (включая): 9. Пары (d; r; N): (9; 5; 77).
4. Δ = 73, q = 9. Целые d между 73/9 (не включая) и 73/8 (включая): 9. Пары (d; r; N): (9; 1; 82).
5. Δ = 85, q = 10. Целые d между 85/10 (не включая) и 85/9 (включая): 9. Пары (d; r; N): (9; 4; 94).
6. Δ = 97, q = 8. Целые d между 97/8 (не включая) и 97/7 (включая): 13. Пары (d; r; N): (13; 6; 110).
7. Δ = 111, q = 7. Целые d между 111/7 (не включая) и 111/6 (включая): 16, 17, 18. Пары (d; r; N): (16; 15; 127), (17; 9; 128), (18; 3; 129).
8. Δ = 119, q = 9. Целые d между 119/9 (не включая) и 119/8 (включая): 14. Пары (d; r; N): (14; 7; 133).

Ключ к варианту Б

1. Δ = 116, q = 6. Начальные кандидаты по d: 20, 21, 22, 23. После условия «d чётный» остаются (d; r; N): (20; 16; 136), (22; 6; 138).
2. Δ = 137, q = 7. Начальные кандидаты по d: 20, 21, 22. После условия «r меньше 10» остаются (d; r; N): (22; 5; 159).
3. Δ = 152, q = 8. Начальные кандидаты по d: 20, 21. После условия «d нечётный» остаются (d; r; N): (21; 5; 173).
4. Δ = 173, q = 6. Начальные кандидаты по d: 29, 30, 31, 32, 33, 34. После условия «r не меньше 10» остаются (d; r; N): (29; 28; 202), (30; 23; 203), (31; 18; 204), (32; 13; 205).
5. Δ = 194, q = 9. Начальные кандидаты по d: 22, 23, 24. После условия «r меньше 5» остаются (d; r; N): (24; 2; 218).
6. Δ = 216, q = 7. Начальные кандидаты по d: 31, 32, 33, 34, 35, 36. После условия «d делится на 3» остаются (d; r; N): (33; 18; 249), (36; 0; 252).
7. Δ = 231, q = 8. Начальные кандидаты по d: 29, 30, 31, 32, 33. После условия «r чётный» остаются (d; r; N): (29; 28; 260), (31; 14; 262), (33; 0; 264).
8. Δ = 247, q = 10. Начальные кандидаты по d: 25, 26, 27. После условия «r не больше 8» остаются (d; r; N): (27; 4; 274).

Особое внимание: разность Δ можно встретить в тексте как «делимое на столько-то больше делителя», но её нельзя по ошибке приравнять к остатку r. Остаток в этой теме вычисляется только после выбора делителя по формуле r = Δ − (q − 1)d.

Самопроверка на одном примере варианта Б: для Δ = 216 и q = 7 кандидаты d = 31, 32, 33, 34, 35, 36. Из них делятся на 3 только 33 и 36. Остатки соответственно 18 и 0, а делимые 249 и 252. Проверка: 249 = 7 · 33 + 18, 252 = 7 · 36 + 0.