Поиск делителя по условию с неравенством для остатка — мини-практикум с ответами, 5 класс

В школьной мастерской готовят наборы карточек для занятий. Есть N карточек, которые раскладывают в одинаковые пачки по d штук. Уже известно, сколько полных пачек получилось (неполное частное q), но размер пачки неизвестен. По условию остаток r должен попадать в указанный интервал. Требуется восстановить все возможные размеры пачки.

Исходные данные мини-проекта

Все величины натуральные, d ≥ 1, r — целый неотрицательный остаток. В каждом случае должны выполняться сразу три условия: N = d · q + r, 0 ≤ r < d и указанное в таблице неравенство. При фиксированных N и q удобно проверять кандидатов d из небольшого интервала, а не делить на все числа подряд.

Модель и один полностью разобранный случай

Для партии А: 91 = 5d + r, 1 ≤ r ≤ 11 и r < d. Так как r = 91 − 5d, из r ≥ 1 получаем d ≤ 18, а из r ≤ 11 — d ≥ 16. Проверяем d = 16, 17, 18. Получаем соответственно r = 11, 6, 1. Все три меньше своих делителей, значит, d = 16, 17, 18.

Важно: одно подходящее значение не всегда единственное. Если найти 16 и сразу остановиться, два ответа потеряются. Также нельзя использовать остаток, равный d: тогда получилась бы ещё одна полная пачка, а число полных пачек изменилось бы.

Практические вопросы по таблице

Решите 12 связанных задач: каждая строка таблицы — отдельная партия. Для первой уже приведён алгоритм, но ответ всё равно запишите самостоятельно. Во всех остальных задачах нужны все подходящие d и соответствующие остатки.

1. Партия А. Из 91 карточек вышло 5 полных пачек, остаток от 1 до 11. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
2. Партия Б. Из 97 карточек вышло 6 полных пачек, остаток не более 7. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
3. Партия В. Из 114 карточек вышло 7 полных пачек, остаток не более 10. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
4. Партия Г. Из 125 карточек вышло 8 полных пачек, остаток от 4 до 13. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
5. Партия Д. Из 139 карточек вышло 9 полных пачек, остаток не более 6. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
6. Партия Е. Из 168 карточек вышло 10 полных пачек, остаток меньше 12. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
7. Партия Ж. Из 173 карточек вышло 11 полных пачек, остаток от 2 до 9. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
8. Партия З. Из 187 карточек вышло 12 полных пачек, остаток не более 7. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
9. Партия И. Из 193 карточек вышло 13 полных пачек, остаток от 10 до 14. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
10. Партия К. Из 201 карточек вышло 14 полных пачек, остаток не более 5. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
11. Партия Л. Из 226 карточек вышло 15 полных пачек, остаток не более 11. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.
12. Партия М. Из 248 карточек вышло 16 полных пачек, остаток не более 8. Найдите все возможные размеры пачки d и число оставшихся карточек для каждого размера.

Данные для самопроверки и оценки решения

1. А. Из равенства 91 = 5d + r получаем r = 91 − 5d. Подходящие пары (d; r): (16; 11), (17; 6), (18; 1). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
2. Б. Из равенства 97 = 6d + r получаем r = 97 − 6d. Подходящие пары (d; r): (15; 7), (16; 1). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
3. В. Из равенства 114 = 7d + r получаем r = 114 − 7d. Подходящие пары (d; r): (15; 9), (16; 2). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
4. Г. Из равенства 125 = 8d + r получаем r = 125 − 8d. Подходящие пары (d; r): (14; 13), (15; 5). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
5. Д. Из равенства 139 = 9d + r получаем r = 139 − 9d. Подходящие пары (d; r): (15; 4). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
6. Е. Из равенства 168 = 10d + r получаем r = 168 − 10d. Подходящие пары (d; r): (16; 8). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
7. Ж. Из равенства 173 = 11d + r получаем r = 173 − 11d. Подходящие пары (d; r): (15; 8). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
8. З. Из равенства 187 = 12d + r получаем r = 187 − 12d. Подходящие пары (d; r): (15; 7). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
9. И. Из равенства 193 = 13d + r получаем r = 193 − 13d. Подходящие пары (d; r): (14; 11). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
10. К. Из равенства 201 = 14d + r получаем r = 201 − 14d. Подходящие пары (d; r): (14; 5). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
11. Л. Из равенства 226 = 15d + r получаем r = 226 − 15d. Подходящие пары (d; r): (15; 1). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.
12. М. Из равенства 248 = 16d + r получаем r = 248 − 16d. Подходящие пары (d; r): (15; 8). Для каждой пары r < d, а ограничение из таблицы выполнено.

Вопрос на разумность результата: почему размер пачки не может быть равен нулю? Потому что на ноль не делят. Почему нельзя использовать отрицательный остаток? Потому что он не соответствует количеству неразложенных предметов. Почему частное именно неполное? Потому что оно считает только полностью собранные пачки, а не округлённый результат деления.

Отдельно проверьте партии, в которых существует несколько ответов. Подставьте полученные пары в исходное равенство: произведение размера пачки на число пачек плюс остаток должно давать N в точности. Если совпадает число карточек, но остаток больше или равен размеру пачки, ответ всё равно неверен.

Учителю: учащиеся могут представить результат в виде короткой таблицы с графами «размер пачки», «число полных пачек», «остаток», «проверка». Такой формат показывает, что поиск делителя — задача на совместное выполнение условий, а не на простое угадывание множителя.