Поиск контрпримера к утверждению для отношений отрезков: проверочная работа по математике, 7 класс

7 класс · отношения длин отрезков · проверочная работа с доказательствами. В каждом пункте спрашивается, верно ли утверждение для любых отрезков, удовлетворяющих указанным условиям. Длины строго положительны, измеряются в сантиметрах; делить на нулевую длину нельзя. Отрезки могут располагаться независимо друг от друга: отношения не требуют совмещения точек на одном чертеже.

Подозрительное утверждение: одинаковое отношение — одинаковые длины?

Ученик говорит: «Если отношение AB к CD равно отношению EF к GH, значит AB=EF». Проверим на конкретных длинах: AB=2 см, CD=6 см, EF=4 см, GH=12 см. Первое отношение 1:3, второе тоже 1:3. Но 2 см не равно 4 см. Контрпример доказывает ошибочность общего утверждения. Отношение отражает пропорцию, а не масштаб рисунка. Это важно при чтении чертежей, где изображение может быть увеличено или уменьшено.

Что является строгим доказательством?

Если AB:CD=3:2, можно обозначить AB=3k и CD=2k с положительным k. Тогда AB−CD=k>0, следовательно, AB длиннее CD. Так рассуждение охватывает все допустимые масштабы, а не только одну пару отрезков. Для ложного утверждения достаточно одной допустимой пары, где предпосылка верна, а вывод не выполняется. Каждый контрпример здесь использует положительные длины; нулевые и отрицательные отрезки не рассматриваются.

Работа: 12 утверждений для проверки

1. «Если AB:CD=2:3, то AB короче CD.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
2. «Если AB:CD=2:3, то AB обязательно равен 2 см.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
3. «Если AB:CD=EF:GH, то AB обязательно равен EF.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
4. «Если AB=CD, а EF=GH, то AB:EF=CD:GH.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
5. «Если AB+CD=EF+GH, то AB:CD=EF:GH.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
6. «Если AB:CD=3:2, то AB длиннее CD.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
7. «Если к каждому из двух разных отрезков прибавить 1 см, их отношение не изменится.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
8. «Если AB:CD=EF:GH=1:1, то AB=CD и EF=GH.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
9. «Если AB длиннее CD вдвое, то CD:AB=2:1.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
10. «Если AB:CD=2:5, то после удвоения обеих длин отношение останется тем же.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
11. «Если AB:CD=EF:GH, то суммы AB+CD и EF+GH обязательно равны.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.
12. «Если AB:CD=4:1, то AB−CD=3·CD.» Решите, нужно ли привести контрпример или доказать правило. Для доказательства разрешается обозначить общий коэффициент через k>0.

Разбор всех двенадцати утверждений

1. Верно. При AB=2k и CD=3k, k>0, имеем 2k<3k.
2. Ложно. Взять AB=4 см и CD=6 см: отношение равно 2:3, а AB≠2 см.
3. Ложно. AB=2 см, CD=4 см, EF=3 см, GH=6 см. Оба отношения 1:2, но 2≠3.
4. Верно. Числители попарно равны, знаменатели попарно равны и положительны; дроби совпадают.
5. Ложно. AB=2 см, CD=8 см, EF=5 см, GH=5 см: обе суммы 10, отношения 1:4 и 1:1.
6. Верно. Можно записать AB=3k, CD=2k при k>0, поэтому AB>CD.
7. Ложно. Было 2:4=1:2, стало 3:5; равенства нет.
8. Верно. Для положительных длин дробь равна 1 тогда и только тогда, когда числитель равен знаменателю.
9. Ложно. AB=8 см, CD=4 см; CD:AB=1:2, не 2:1.
10. Верно. 2AB:2CD=AB:CD, множитель 2 сокращается.
11. Ложно. Для 2 см и 4 см сумма 6; для 3 см и 6 см сумма 9, хотя отношения равны 1:2.
12. Верно. AB=4k, CD=k при k>0, поэтому AB−CD=3k=3·CD.

Проверка особых случаев: если обе пары равных отрезков положительны, деление определено, даже когда отношение равно 1. При равных суммах отрезков отдельные отношения могут различаться; при равных отношениях суммы могут различаться. Если все длины умножены на одно положительное число, пропорция сохраняется. Если к каждой длине прибавлена одна и та же константа, пропорция, вообще говоря, изменяется — сравните вычисления на реальных числах.

Практический пример про масштаб: пусть длины двух отрезков равны 3 см и 5 см. Их отношение 3:5, а сумма 8 см. Если уменьшить чертёж вдвое, длины станут 1,5 см и 2,5 см, отношение сохранится 3:5, но сумма уменьшится до 4 см. Следовательно, из пропорции нельзя заключить равенство периметров, общих длин или самих отрезков. При сравнении важно перечислять, какая величина сохраняется при преобразовании, а какая изменяется. Отношение — число без единиц измерения, длина — число сантиметров. Две разные величины нельзя отождествлять.

Ещё один способ проверки — привести дроби к одинаковым знаменателям. Например, отношения 2:4 и 3:6 равны, потому что 2/4=3/6=1/2. Но утверждение «2+4=3+6» ложно: 6 не равно 9. Можно сравнивать пропорции перекрёстным умножением: для положительных b и d равенство a/b=c/d равносильно ad=bc. Этот приём удобен, когда отрезки имеют дробные длины, например 1,5 см и 2,5 см. При нулевом знаменателе такой способ использовать нельзя; поэтому в условии всегда оговорена положительность длин.

На итоговой самопроверке проверьте каждое ложное утверждение по трём шагам: (1) указаны четыре или две положительные длины; (2) исходное условие проверено; (3) заключение действительно нарушается. В истинных пунктах должна быть указана причина, действующая для любого k>0. Простое «на рисунке так видно» не является ни доказательством, ни контрпримером, потому что схематический рисунок не обязан сохранять масштаб.