Поиск контрпримера к утверждению для свойств чётных чисел — математический практикум для 7 класса

7 класс · математическая логика на примерах школьного учёта. Класс распределяет карточки для занятий по парам. Каждому столу выдают два экземпляра задания, поэтому число выданных карточек чётно. Но из одного жизненного наблюдения нельзя делать утверждение «для всех чисел» — нужна общая формула или контрпример. Задача практикума — найти минимальные наглядные случаи, разрушающие ошибочные правила.

Исходные данные: ведомость школьного кабинета

По каждой строке можно проверить, что число карточек записывается как 2k: 2, 4, 6, 8, 10, 12 и даже 0. При этом таблица не доказывает правило о всех целых числах; она лишь предоставляет удобные проверочные случаи. Чтобы опровергнуть всеобщее утверждение, достаточно одного корректного случая, для которого условие выполняется, а заключение нет. Чтобы доказать правило для любого целого, надо обратиться к записи 2k для чётного и 2k+1 для нечётного.

Практическое наблюдение и построение контрпримера

Ученику предложили правило «если карточки разложены поровну, их количество делится на четыре». На столе В шесть карточек, которые составляют три пары: условие о равных парах выполнено, но шесть на четыре не делится. Это контрпример. Таблица помогает подобрать число, но главное — показать две части рассуждения: почему условие истинно и почему вывод ложен. Одного ответа «6» без пояснения недостаточно.

Четырнадцать проверок: утверждение, пример, доказательство

1. Проверьте высказывание: «Если число карточек делится на 2, то оно не может быть равно нулю.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
2. Проверьте высказывание: «Сумма двух чётных количеств обязательно нечётна.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
3. Проверьте высказывание: «Если произведение двух натуральных чисел чётно, оба множителя чётные.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
4. Проверьте высказывание: «Разность двух чётных натуральных чисел всегда чётна.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
5. Проверьте высказывание: «Каждое чётное число делится на 4.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
6. Проверьте высказывание: «Если число чётное, то число на две единицы больше тоже чётно.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
7. Проверьте высказывание: «Число, следующее за чётным целым, обязательно чётное.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
8. Проверьте высказывание: «Если сумма двух целых чисел чётна, то оба числа чётны.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
9. Проверьте высказывание: «Произведение чётного целого и любого целого чётно.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
10. Проверьте высказывание: «Если квадрат целого числа чётен, то и исходное число чётно.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
11. Проверьте высказывание: «Сумма трёх чётных чисел всегда кратна шести.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
12. Проверьте высказывание: «Разность любых двух нечётных целых чисел чётна.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
13. Проверьте высказывание: «Число с последней цифрой 0 обязательно чётное.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.
14. Проверьте высказывание: «Если число делится на 6, то оно делится на 2.» Найдите контрпример среди целых чисел или докажите, что контрпример невозможен. Если утверждение касается карточек, укажите, что означает число в таблице.

Ключ для взаимопроверки

1. Ложно. 0 чётно: 0=2·0. Для пустой коробки число карточек равно нулю.
2. Ложно. 4+6=10, а 10=2·5 — чётное число.
3. Ложно. 2·3=6 чётно, но 3 нечётно.
4. Верно. 2a−2b=2(a−b), даже если разность отрицательна.
5. Ложно. 6=2·3, но 6 на 4 не делится.
6. Верно. 2a+2=2(a+1).
7. Ложно. После 8 идёт 9, а 9 нечётно.
8. Ложно. 3+5=8, оба слагаемых нечётные.
9. Верно. (2a)·b=2(ab), где a и b — целые.
10. Верно. Квадрат нечётного (2a+1)²=2(2a²+2a)+1 нечётен; значит, чётный квадрат бывает только у чётного числа.
11. Ложно. 2+4+8=14; 14 не делится на 6.
12. Верно. (2a+1)−(2b+1)=2(a−b).
13. Верно. 10a=2(5a) для целого a; например, в таблице есть число 10.
14. Верно. 6a=2(3a).

Сравните способы проверки. Числа в таблице полезны для поиска контрпримеров, но не заменяют доказательство универсального правила. Утверждение о сумме двух чётных доказывается так: 2a+2b=2(a+b). Для числа ноль также подходит целый коэффициент a=0. Если в условии сказано «натуральное», проверьте, положительность требуется ли для выбора контрпримера: здесь для утверждений о натуральных множителях использованы 2 и 3, поэтому вопрос о включении нуля в натуральные не влияет на вывод.

Критерий качественного ответа: у ложного утверждения приведён конкретный набор целых чисел и проверены обе части высказывания; у истинного дана запись через 2k или другое строгое обоснование. Отсутствие найденного примера после нескольких попыток не доказывает истинность. И наоборот, один корректный контрпример окончательно опровергает высказывание, начинающееся со слов «для любых».