Поиск лишней поверхности в развёртке для конуса с заданным радиусом — упражнения разной сложности, 11 класс

Поиск ошибок в развёртке, 11 класс. Развёртка поверхности прямого кругового конуса состоит из одного круга основания и одного кругового сектора боковой поверхности. В этой карточке нужно уметь распознать лишнюю деталь, а не просто подставить радиус в формулу площади.

Неверная схема: найдите пять ошибок

На черновом чертеже для конуса с радиусом основания r=4 см и образующей l=10 см подписаны: два круга радиуса 4 см, сектор радиуса 10 см с дугой 20π см, дополнительный прямоугольник 4 × 10 см и полная площадь 40π см². Все пять пометок нельзя принимать одновременно. Проверьте состав деталей, длину дуги, угол сектора и полноту площади.

• Первое исправление: второй круг основания лишний — у обычного конуса одно основание.
• Второе: дуга бокового сектора имеет длину 2πr = 8π см, а не 2πl.
• Третье: сектор радиуса l=10 см имеет угол 144°, а не полный круг.
• Четвёртое: прямоугольник не относится к стандартной развёртке конуса.
• Пятое: 40π см² — площадь только сектора; полная площадь равна 56π см².

Самостоятельные упражнения разных уровней

1. Ученица нарисовала для прямого конуса радиуса 4 см две круглые детали и один сектор. Какая деталь лишняя?

2. В развёртке конуса с r=4 см и l=10 см сектор имеет радиус 10 см. Должна ли его дуга быть равна 8π см?

3. Для r=4 см и l=10 см вычислите угол бокового сектора.

4. Ученик добавил прямоугольник 4 × 10 см к сектору и кругу из задания 2. Нужно ли включать его в площадь конуса?

5. При r=4 и l=10 см ученик вычислил S=40π. Какую поверхность он пропустил?

6. Для r=3 и l=5 см на рисунке два одинаковых сектора. Какой следует оставить и какова правильная площадь?

7. При r=2 и l=8 см вычислите угол сектора и полную площадь.

8. Конус r=6 см, l=10 см. К рисунку добавили второе основание. На сколько завышена площадь?

9. При r=4 и l=8 см ученик изобразил сектор 180°. Проверьте форму развёртки.

10. При r=5 и l=13 см найдите площадь лишней второй круглой детали и площадь правильной развёртки.

11. Сектор имеет радиус 12 см, а круг основания — радиус 3 см. Ученик назначил дугу 24π см. Исправьте.

12. Радиус основания 7 см, образующая 9 см. Какая из двух деталей лишняя: сектор радиуса 9 см или квадрат 14 × 14 см?

13. В наборе для r=3 см, l=6 см есть сектор на 180°, круг радиуса 3 см и ещё один круг радиуса 6 см. Что убрать?

14. В развёртке r=5 см, l=10 см нарисован сектор 90°. Какую часть боковой поверхности не показали?

Ответы и разбор ошибок

1. Лишний второй круг: у закрытого конуса одно круговое основание. Правильная развёртка содержит один круг и один сектор.

2. Да. Длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πr=8π см. Длина образующей определяет радиус сектора, не длину дуги.

3. Угол α=360°·r/l=360°·4/10=144°. Сектор большего угла дал бы лишнюю боковую площадь.

4. Нет. Прямоугольник — лишняя самостоятельная поверхность; он не входит в стандартную развёртку прямого кругового конуса. Для S достаточно сектора и круга.

5. 40π=πrl — только боковая площадь сектора. Недостаёт основания πr²=16π; полная поверхность 56π см².

6. Нужен один сектор радиуса 5 см с дугой 2π·3=6π см, а также одно основание. Площадь сектора 15π, круга 9π, итого 24π см².

7. α=360°·2/8=90°; S=π·2·8+π·2²=16π+4π=20π см².

8. Лишний круг имеет площадь π·6²=36π см². Правильная полная площадь 6π·10+36π=96π см².

9. Да: α=360°·4/8=180°, то есть полукруг радиуса 8 см. Ещё нужен один круг радиуса 4 см; S=32π+16π=48π см².

10. Лишняя деталь даёт 25π см². Правильная развёртка: сектор 65π и круг 25π, всего 90π см².

11. Длина дуги должна быть длиной окружности основания 2π·3=6π см, а не 2π·12. Правильный угол α=360°·3/12=90°.

12. Лишний квадрат. Круг основания радиуса 7 см и сектор радиуса 9 см нужны; квадрат не является поверхностью конуса.

13. Убрать круг радиуса 6 см. У правильного конуса основание одно и его радиус 3 см; боковой сектор радиуса 6 см действительно имеет угол 180°.

14. Нужен угол 360°·5/10=180°. Сектор в 90° составляет половину правильной боковой площади 50π: недостаёт 25π см².

Самопроверка чертежа

Сложив круг и сектор по их границам, можно получить замкнутую поверхность конуса без дублирования деталей. Радиус сектора l не является радиусом основания r. Угол сектора обязательно связан с длиной окружности основания формулой α/360° · 2πl = 2πr.

Для бумажной модели можно отдельно добавить клапан для склейки, но он является технологическим припуском, а не математической поверхностью конуса. Его площадь не включают в S=πr(l+r), если задача не содержит специального условия о припусках.

Как работать с карточкой. Решите задания до чтения ключа; после проверки обязательно объясните, какая поверхность учтена и почему. Ответы даны в квадратных единицах. Число π оставлено точным: приближение не требуется.