Поиск множества значений при горизонтальном растяжении — задачи с решениями для 10 класса

Исследовательские задачи для 10 класса. Горизонтальное растяжение графика в k раз (k>1) означает y=f(x/k), а не y=kf(x). Если исходная функция рассматривается на полной естественной области и x пробегает всю новую естественную область, замена t=x/k биективна: значения y остаются теми же. Но при дополнительном ограничении x∈[a;b] допустимы лишь t∈[a/k;b/k], поэтому диапазон способен измениться.

Наблюдение: растяжение без ограничения аргумента

Возьмём f(t)=(t−2)²+3. До растяжения её минимум 3 достигается при t=2. После замены t=x/4 график имеет минимум 3 уже при x=8. Значение по вертикали не меняется — поменялся только x, в котором оно достигается. Теперь задайте ограничение x∈[0;4]: t∈[0;1], и квадратичная функция принимает значения от 4 до 7, а не от 3 до +∞.

Сформулируйте правило и проверьте его на примерах

В задачах 1–8 найдите диапазон после растяжения без дополнительного ограничивающего отрезка. Для задач 9–13 отдельно выпишите t=x/k, его допустимый отрезок и новое множество значений. Укажите x, на котором достигается каждая конечная граница.

1. f(t)=t²+2; y=f(x/2), x∈ℝ
2. f(t)=4−|t|; y=f(x/3), x∈ℝ
3. f(t)=√t; y=f(x/4) на естественной области
4. f(t)=1/(t²+1); y=f(x/2), x∈ℝ
5. f(t)=t³; y=f(x/5), x∈ℝ
6. f(t)=|t−2|; y=f(x/2), x∈ℝ
7. f(t)=(t−3)²+1; y=f(x/4), x∈ℝ
8. f(t)=3−t²; y=f(x/2), x∈ℝ
9. f(t)=t²; y=f(x/2), но только 0≤x≤4
10. f(t)=(t−2)²; y=f(x/2), но только −2≤x≤2
11. f(t)=√(t−1); y=f(x/2), но только 2≤x≤6
12. f(t)=|t+1|; y=f(x/4), но только −4≤x≤0
13. f(t)=1/(t+1); y=f(x/2), но только 0≤x≤2

Проверка гипотезы и точные ответы

1. [2; +∞). Минимум при x=0.
2. (−∞; 4]. Растяжение не меняет максимум 4.
3. [0; +∞). x≥0, после замены t=x/4≥0.
4. (0; 1]. Пик при x=0; нуль не достигается.
5. ℝ. Кубическая функция принимает все действительные значения.
6. [0; +∞). Минимум при x=4.
7. [1; +∞). Минимум при x=12.
8. (−∞; 3]. Максимум при x=0.
9. [0; 4]. 0≤t≤2, поэтому 0≤t²≤4.
10. [1; 9]. −1≤t≤1, минимальный квадрат 1, максимальный 9.
11. [0; √2]. 1≤t≤3, корень от t−1 лежит от 0 до √2.
12. [0; 1]. −1≤t≤0, значит 0≤t+1≤1.
13. [1/2; 1]. 0≤t≤1, дробь убывает от 1 до 1/2.

Контрпример к слишком широкому правилу

Утверждение «любое горизонтальное растяжение оставляет множество значений неизменным» неверно без уточнения области аргумента. В задаче 9 функция f(t)=t² на всём ℝ принимает [0;+∞); однако при 0≤x≤4 после растяжения вдвое получаем лишь 0≤x²/4≤4. Здесь действует не всё множество t∈ℝ, а отрезок t∈[0;2]. Поэтому правильный диапазон [0;4].

В задаче 10 нужно проверить положение вершины t=2: она не принадлежит [−1;1], поэтому минимум не равен нулю. На этом отрезке квадрат (t−2)² меняется от 9 при t=−1 до 1 при t=1. Это объясняет, почему нельзя механически переносить минимум исходной параболы.

Задача 11 сочетает естественную область корня и заданный отрезок. Аргумент t=x/2 лежит в [1;3], поэтому t−1∈[0;2]. Отсюда E(y)=[0;√2]; бесконечный диапазон исходного корня срезан дополнительным условием 2≤x≤6.

Сравните вертикальное и горизонтальное преобразования. При y=3f(x) все значения умножаются на 3, а при y=f(x/3) меняются точки достижения значений, но не сами значения, если дополнительного ограничения по x нет. Путаница этих двух операций — частая причина неверных интервалов.

Проверка на нескольких аргументах полезна как контрпример, но не заменяет доказательства диапазона. Для полного доказательства установите, как x/k пробегает допустимую область исходной функции, а затем примените уже известное множество значений f. Если область x задана отрезком, сначала преобразуйте именно этот отрезок.

Проверяем каждый случай с ограниченной областью

Задача 9. Замена t=x/2 при 0≤x≤4 переводит отрезок [0;4] в [0;2]. Если f(t)=t², то y=t² изменяется от 0 до 4. Обе границы включены: для y=0 подходит x=0, для y=4 подходит x=4. Заметьте, что исходная функция f(t)=t² на всём ℝ не ограничена сверху. Значит для сохранения множества значений при растяжении недостаточно лишь знать коэффициент k: нужно знать фактический диапазон переменной x.

Задача 10. Здесь t=x/2 и −2≤x≤2, следовательно t∈[−1;1]. Для f(t)=(t−2)² вершина находится при t=2 и не принадлежит допустимому отрезку. На [−1;1] выражение (t−2)² убывает. При t=−1 получаем 9; при t=1 получаем 1. Поскольку функция непрерывна на отрезке, все значения от 1 до 9 достигаются. В исходной переменной крайние значения соответствуют x=−2 и x=2.

Задача 11. Корневая функция f(t)=√(t−1) определена лишь при t≥1. Условие 2≤x≤6 после замены t=x/2 становится 1≤t≤3 и удовлетворяет области определения. Функция возрастающая, поэтому минимальное значение равно √(1−1)=0, максимальное — √(3−1)=√2. Все значения между ними реализуются благодаря непрерывности корня. Если забыть первоначальное ограничение x≤6, ошибочно получится неограниченный сверху диапазон.

Задача 12. Отрезок −4≤x≤0 при растяжении в 4 раза переходит в −1≤t≤0. Тогда t+1∈[0;1] и модуль |t+1| уже ничего не меняет: всё выражение неотрицательно. В точке x=−4 получаем нуль, а при x=0 получаем единицу. Значит множество значений [0;1]. Запись диапазона [−1;0] была бы ошибкой: это диапазон t, а не исходной функции f(t).

Задача 13. Из 0≤x≤2 следует 0≤t=x/2≤1. Знаменатель t+1 принимает значения от 1 до 2, оставаясь строго положительным. Функция 1/(t+1) убывает и достигает верхней границы 1 при t=0, нижней 1/2 при t=1. Поэтому E(y)=[1/2;1]. Проверка обратным уравнением 1/(t+1)=y даёт t=1/y−1; при 1/2≤y≤1 значение t находится в нужном отрезке.

Почему у неограниченного растяжения диапазон сохраняется

Для любого k>1 соответствие x↔t=x/k взаимно однозначно между новыми и старыми естественными областями определения. Каждому допустимому исходному аргументу t отвечает x=kt; подстановка даёт ровно ту же ординату f(t). Это доказывает равенство множеств значений, даже если f имеет разрывы, ограничена по области или не является взаимно однозначной функцией. Дополнительный заданный отрезок x меняет множество допустимых t, и доказательство перестаёт работать для полного диапазона оригинала.

На контрольной работе уточняйте тип преобразования: замена x на x/k (k>1) растягивает график горизонтально, замена x на kx сжимает его горизонтально, а умножение всего f(x) на k растягивает его вертикально. Все три преобразования могут выглядеть похоже на рисунке без масштаба, но по-разному влияют на точки и значения. Для задачи о диапазоне достаточно правильно указать, какие аргументы доступны после подстановки.