Поиск множества значений при ограничении аргумента корнем — рабочий лист для 10 класса
Рабочий лист для 10 класса. В каждом пункте найдите область определения и множество значений. Из-за корня аргумент уже ограничен, даже когда внешняя формула выглядит как обычная квадратичная функция. Метод: сначала выпишите подкоренное выражение ≥0, затем обозначьте t=√(…)≥0 и найдите минимум/максимум по допустимым t.
Содержание статьи5 разделов
Быстрые контрольные вопросы — выполните первыми
- y=√(x−4)+2
- y=5−√(x+1)
- y=(√x−3)²
Девять новых заданий без подсказок
- y=(√(x−5)+2)²
- y=√(9−x)
- y=(√(x+2)−1)²+4
- y=√x/(√x+1)
- y=3/(√(x−2)+1)
- y=(√(4−x)+1)²
- y=7−(√(x+3)−2)²
- y=√(x−3), дополнительно x≤19
- y=(√(x−1)−4)², дополнительно x≤10
Ключ: допустимые x и все значения y
| № | Область определения | Множество значений | Короткое решение |
|---|---|---|---|
| 1 | x≥4 | [2; +∞) | Положим t=√(x−4)≥0: y=t+2. |
| 2 | x≥−1 | (−∞; 5] | t растёт от 0 до +∞, значит 5−t≤5. |
| 3 | x≥0 | [0; +∞) | t=√x≥0; квадрат (t−3)² достигает нуля при t=3. |
| 4 | x≥5 | [4; +∞) | t≥0, поэтому (t+2)²≥4. |
| 5 | x≤9 | [0; +∞) | При x→−∞ подкоренное растёт без ограничения. |
| 6 | x≥−2 | [4; +∞) | t=1 даёт минимум 4. |
| 7 | x≥0 | [0; 1) | t/(t+1) возрастает от 0 к 1, не достигая 1. |
| 8 | x≥2 | (0; 3] | Положительный знаменатель ≥1, в бесконечности y→0. |
| 9 | x≤4 | [1; +∞) | t≥0; минимум при t=0, то есть x=4. |
| 10 | x≥−3 | (−∞; 7] | Квадрат может стать 0 при x=1. |
| 11 | 3≤x≤19 | [0; 4] | x−3∈[0;16], значит корень от 0 до 4. |
| 12 | 1≤x≤10 | [1; 16] | t=√(x−1)∈[0;3]; (t−4)² уменьшается с 16 до 1. |
Проверка особо сложных номеров
В задаче 12 кроме условия x≥1 дано дополнительное x≤10. Это означает t=√(x−1)∈[0;3]. Минимум квадрата (t−4)² на этом отрезке равен 1 при t=3; нуль недостижим. Максимум 16 достигается при t=0. Поэтому ответ [1;16], а не [0;+∞).
В задаче 7 функция t/(t+1) при t≥0 не достигает 1: равенство t/(t+1)=1 означает t=t+1, что невозможно. В задаче 8 по той же причине 3/(t+1) строго больше нуля, но может быть сколь угодно близкой к нулю. Эти два открытых конца проверяются аналитически, а не одним рисунком.
Для проверки каждой строки подставьте точку, дающую замкнутую границу; для бесконечного конца объясните поведение при большом допустимом |x|. Если дано дополнительное ограничение x≤19 или x≤10, не подменяйте его лишь условием подкоренного выражения. В контрольной работе за полный ответ нужны оба множества — D(y) и E(y).
Полные решения трёх заданий
Номер 3. Пусть t=√x. Из x≥0 следует t≥0, и при любом t≥0 можно взять x=t². Поэтому задача сводится к диапазону (t−3)² при t≥0. Квадрат неотрицателен и равен нулю при t=3, то есть x=9. При больших t он растёт без ограничения. Итак, D(y)=[0;+∞), E(y)=[0;+∞). Одинаковая запись здесь случайна: первое множество относится к x, второе — к y.
Номер 10. Введём t=√(x+3), тогда x≥−3 и t≥0. Выражение y=7−(t−2)² не превышает 7, причём максимум 7 достигается при t=2, когда x=1. При t→+∞ квадрат неограниченно растёт, значит y→−∞. Поэтому множество значений — (−∞;7]. Начало допустимой области x=−3 не даёт максимума; нельзя автоматически вычислять крайние значения только на границе корня.
Номер 11. Корень требует x−3≥0, то есть x≥3. В условии дополнительно x≤19, поэтому x лежит в [3;19], а не на всём луче. Зависимость √(x−3) возрастает: её значения на краях равны √0=0 и √16=4. Все промежуточные значения достигаются, поэтому E(y)=[0;4]. Без дополнительного ограничения x≤19 диапазон был бы [0;+∞); это уже другая задача.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.