Поиск неверного равенства для выражения с тангенсом: мини-практикум с ответами, 10 класс

Математика, 10 класс. Карточка MATH-1724

Учебная цель: доказывать или опровергать равенства с тангенсом, учитывать его периодичность, нечётность и исходную область определения.

Подозрительное утверждение

«Тангенс суммы равен сумме тангенсов». Прежде чем объявлять равенство тождеством, возьмите α=β=30°: tg(60°)=√3, а tg30°+tg30°=2/√3. Значения различны. Верная формула: tg(α+β)=(tg α+tg β)/(1−tg α tg β), если все используемые тангенсы и знаменатель определены.

Домен нельзя оставлять за кадром: tg x=sin x/cos x существует только когда cos x ≠ 0. Более того, формула tg(2x)=2tg x/(1−tg²x) имеет в правой части тангенс x, поэтому требует cos x ≠ 0; и знаменатель 1−tg²x также не может быть нулём. В отличие от этого tg(2x) слева бывает определён при x=π/2, где tg x не существует. Следовательно, выражения совпадают на области правой части, а не обязательно имеют одинаковые области определения.

Двенадцать утверждений с обязательным обоснованием

1. 1. tg x = sin x/cos x при cos x ≠ 0.
2. 2. tg(−x) = tg x.
3. 3. tg(x+π)=tg x на общей области определения.
4. 4. tg(π−x)=−tg x на общей области определения.
5. 5. 1+tg²x=1/cos²x при cos x ≠ 0.
6. 6. tg x·cos x=sin x для всех x.
7. 7. tg(2x)=2tg x при любом x.
8. 8. tg(π/4)=1.
9. 9. tg(3π/4)=1.
10. 10. Если tg x=2 и cos x ≠ 0, то sin x=2cos x.
11. 11. Для x=π/2 справедливо 1+tg²x=1/cos²x.
12. 12. Если tg x=1/2, то tg(2x)=4/3.

Разобранный особый случай

Рассмотрим x=π/2. Левая функция tg(2x)=tg π=0 определена. Правая дробь с tg x при x=π/2 бессмысленна. Значит нельзя заменить выражение tg(2x) на рациональную формулу от tg x и забыть, что область определения могла сузиться. Для x=π/4 имеем tg x=1, и знаменатель формулы 1−tg²x равен нулю; одновременно tg(π/2) не существует. Обе проверки полезны, но дают разные причины недопустимости.

Ответы и логика каждого решения

1. 1. Верно по определению.
2. 2. Неверно: tg(−x)=−tg x; тангенс нечётен.
3. 3. Верно: синус и косинус оба меняют знак.
4. 4. Верно по формулам приведения.
5. 5. Верно: (cos²x+sin²x)/cos²x.
6. 6. Неверно как равенство двух выражений для всех x: при cos x=0 левая часть не определена.
7. 7. Неверно: отсутствует деление на 1−tg²x и не названа ОДЗ.
8. 8. Верно: sin и cos равны √2/2.
9. 9. Неверно: −1 (II четверть).
10. 10. Верно по определению тангенса.
11. 11. Неверно: обе части не определены, равенство не проверяется.
12. 12. Верно: (2·1/2)/(1−1/4)=4/3.

Для пункта 12 не забудьте подставить найденное значение обратно: при tg x=1/2 по формуле суммы tg(2x)=(1/2+1/2)/(1−1/4)=4/3. Подстановка гарантирует правильное значение, но формула требует, чтобы tg x был определён, поэтому вывод не переносится на все x автоматически. Эта последовательность — установить ОДЗ, преобразовать, сделать обратную проверку — годится и для других рациональных тригонометрических выражений.

Почему тангенс нельзя считать просто дробью без условий

Поскольку tg x=sin x/cos x, запись tg x автоматически содержит ограничение cos x≠0. Отсюда периодичность: sin(x+π)=−sin x и cos(x+π)=−cos x; знаки сокращаются в отношении, поэтому tg(x+π)=tg x. Но если x=π/2, оба тангенса tg x и tg(x+π) не определены. Периодичность утверждается на общей области, а не как разрешение делить на ноль. Ровно так же нечётность выводится из sin(−x)=−sin x, cos(−x)=cos x: tg(−x)=−tg x там, где cos x≠0.

Два метода проверки формулы двойного угла

Выведем tg(2x) через синус и косинус. Если cos(2x)≠0, то tg(2x)=sin(2x)/cos(2x)=2sin x cos x/(cos²x−sin²x). При условии cos x≠0 делим числитель и знаменатель на cos²x и получаем 2tg x/(1−tg²x). Теперь видно, что право на последнее деление обеспечено отдельным ограничением cos x≠0. Значение x=π/2 показывает разницу областей: исходный tg(2x)=0, но последняя дробь от tg x не существует.

Второй метод — использовать tg(x+x)=(tg x+tg x)/(1−tg x·tg x). Этот способ короче, но в нём уже скрыты предпосылки существования исходных тангенсов и ненулевого знаменателя. Если школьник просто переписал формулу и проигнорировал ОДЗ, нужно восстановить их независимо: cos x≠0 и 1−tg²x≠0. При cos x≠0 второе эквивалентно cos(2x)≠0, поскольку 1−tg²x=(cos²x−sin²x)/cos²x.

Контрольные значения как строгий контрпример

Возьмём x=π/6. Тогда tg x=1/√3 и tg(2x)=√3. Неверная формула tg(2x)=2tg x дала бы 2/√3, что не равно √3. Правильная формула даёт (2/√3)/(1−1/3)=√3. Для x=π/4 тангенс x равен 1, знаменатель 1−tg²x равен нулю, а tg(2x)=tg(π/2) не существует; это согласованное исключение. Для x=π/2, напротив, прямая формула tg(2x) имеет значение, а дробная формула через tg x — нет. Оба случая нужно уметь различать, чтобы не утверждать «две функции одинаковы» на несовпадающих областях.

В задачах с tg x важно сравнивать не только численное значение. Например, tg x·cos x=sin x следует из определения на cos x≠0. Но как утверждение об одинаковых функциях на всей числовой прямой оно неверно: sin x имеет значение и в точках, где tg x не существует. Устное объяснение «множитель cos x сократился» недостаточно: требуется назвать, на каком множестве разрешено сокращение.