Поиск неверного равенства после вынесения общего множителя — рабочий лист для 10 класса

Математика, 10 класс. Карточка MATH-1725

Учебная цель: искать неверные равенства после вынесения тригонометрического общего множителя и не терять ветви решений произведения.

Первый поворот маршрута: вынести множитель, а не поделить

При вынесении общего множителя не требуется делить на него: sin x + sin x cos x = sin x(1+cos x) верно для любого x. Но из уравнения sin x(1+cos x)=0 нельзя перейти только к 1+cos x=0, «сократив sin x»: так потеряются решения sin x=0. Это главная граница навыка данного рабочего листа.

Лёгкий старт — четыре верных или неверных записи

1. 1. sin x + sin x cos x = sin x(1+cos x)
2. 2. cos x + sin x cos x = cos x(1+sin x)
3. 3. sin²x + sin x = sin x(sin x +1)
4. 4. cos²x − cos x = cos x(cos x+1)

Развилка — исправьте одну конкретную ошибку

Во всех заданиях 5–12 установите, корректно ли вынесен множитель. Если нет, укажите, какое слагаемое должно стоять в скобках. В задачах 13–18 оценивайте не тождество, а переход к решениям уравнения: здесь сокращение на ноль может быть особенно опасно.

1. 5. sin x cos x + sin x = sin x(cos x+1)
2. 6. sin x−sin x cos x = sin x(1−cos x)
3. 7. 2sin x cos x+sin x = sin x(2cos x+1)
4. 8. 3cos²x−6cos x=3cos x(cos x−2)
5. 9. sin²x−cos x sin x=sin x(sin x−cos x)
6. 10. cos²x+sin x cos x=cos x(cos x+sin x)
7. 11. sin²x−sin x=sin x(1−sin x)
8. 12. cos x−2sin x cos x=cos x(1−2sin x)

Третья ступень — не потерять корни

1. 13. sin x(1+cos x)=0 ⇒ cos x=−1 — все решения.
2. 14. cos x(1+sin x)=0 ⇒ cos x=0 или sin x=−1.
3. 15. sin x(sin x−1)=0 ⇒ sin x=0 или sin x=1.
4. 16. sin x(sin x+1)=0 ⇒ sin x=1 или sin x=−1.
5. 17. sin x cos x=0 ⇒ sin x=0 или cos x=0.
6. 18. sin x(2cos x−1)=0 ⇒ sin x=0 или cos x=1/2.

Проверка и исправление

1. 1. Верно: общая часть sin x.
2. 2. Верно: общая часть cos x.
3. 3. Верно: sin²x=sin x·sin x.
4. 4. Неверно: нужно cos x(cos x−1).
5. 5. Верно: перестановка слагаемых.
6. 6. Верно.
7. 7. Верно: коэффициент 2 остаётся.
8. 8. Верно: общий множитель 3cos x.
9. 9. Верно: вынесен sin x.
10. 10. Верно.
11. 11. Неверно: нужен множитель sin x(sin x−1).
12. 12. Верно.
13. 13. Неверно: пропущено условие sin x=0.
14. 14. Верно; но второе семейство входит в первое.
15. 15. Верно: свойство нулевого произведения.
16. 16. Неверно: первый вариант sin x=0, а не 1.
17. 17. Верно; оба множителя определены при любом x.
18. 18. Верно: обе ветви дают решения.

Завершающая проверка на конкретном числе: x=0 удовлетворяет уравнению sin x(1+cos x)=0, потому что sin 0=0. Но после запрещённого деления на sin x этот корень исчезнет. Подстановка нулевого множителя — простой способ обнаружить потерю решений. Для любого тождества вида AB+AC=A(B+C) делить на A не нужно: умножение раскрывается обратно, даже если A=0.

Если ошибка возникла в пунктах 4 или 11, потренируйте обратное раскрытие скобок. Если ошиблись в пунктах 13–18, разделяйте «тождественное преобразование суммы» и «решение произведения, равного нулю». Итоговое правило: общий множитель сохраняет выражение при любом значении, а сокращение дроби или деление уравнения требует отдельной проверки нуля.

Почему нулевой множитель нужно сохранить

Пусть sin x(1+cos x)=0. Уравнение эквивалентно двум ветвям: sin x=0 или 1+cos x=0. Первая даёт x=πk, а вторая cos x=−1, то есть x=π+2πk, уже входящие в первую семью. Поэтому окончательный ответ x=πk. Если «сократить sin x», останется только вторая ветвь, и, например, x=0 исчезнет, хотя он удовлетворяет исходному уравнению. Такая ошибка особенно коварна: оставшиеся корни верны, но их набор неполон.

Проверим обратную ситуацию на записи cos x(1+sin x)=0. Первая ветвь cos x=0 даёт x=π/2+πk, вторая sin x=−1 даёт x=3π/2+2πk, что уже содержится в первой. Получаем только x=π/2+πk. Здесь тоже не нужно делить на cos x, даже если ученику кажется, что общий множитель «мешает» решить уравнение. Произведение, равное нулю, рассматривают как объединение условий, а не как дробь.

Доказательство вынесения множителя через обратное раскрытие скобок

Для пункта 8 проверка выглядит так: 3cos x(cos x−2)=3cos²x−6cos x. После раскрытия получили ровно исходную левую часть, значит равенство тождественно верно и не зависит от значения x. Для пункта 11 ошибочную запись sin x(1−sin x) раскроем: получается sin x−sin²x, то есть выражение с противоположными знаками по сравнению с исходным sin²x−sin x. Верное разложение sin x(sin x−1) после раскрытия даёт исходную сумму со знаком минус. Эта проверка часто надёжнее попытки запомнить последовательность знаков.

В пункте 16 неправильное «или» легко обнаружить подстановкой x=0. Тогда sin x(sin x+1)=0, так что x=0 — решение; утверждение sin x=1 или sin x=−1 не включает его. Верное ветвление sin x=0 или sin x=−1 охватывает все нули двух множителей. Для уравнений с двумя тригонометрическими функциями контроль выполняют таким же образом, не заменяя условие AB=0 на A/B=0.

Проверка работы без калькулятора

Для алгебраического вынесения множителя вычислять значения синуса и косинуса не требуется: достаточно распределительного закона. Для решений произведения используйте известные нули sin x и cos x и соответствующие точные углы. Если в ответе оказалась только одна ветвь уравнения, проверьте, не было ли молчаливого деления на множитель. Если два ответа кажутся противоречивыми, раскройте скобки обеих записей и сравните их с исходным выражением.