Поиск неверного равенства при использовании суммы и разности углов — задания с разбором, 10 класс

Математика, 10 класс. Карточка MATH-1723

Учебная цель: отличать корректные формулы суммы и разности от равенств с перепутанным знаком и доказывать исправление двумя способами.

Две версии одной ошибки

Частое заблуждение: sin(α+β)=sin α+sin β. В действительности sin(α±β)=sin α cos β±cos α sin β, а cos(α±β)=cos α cos β∓sin α sin β. Знаки у косинуса меняются противоположным образом. В двух вариантах ниже нужно не просто вычеркнуть неверное равенство, а восстановить недостающие множители и знаки.

Вариант А — проверка отдельных формул

1. 1. sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β
2. 2. sin(α−β)=sin α cos β+cos α sin β
3. 3. cos(α+β)=cos α cos β+sin α sin β
4. 4. cos(α−β)=cos α cos β+sin α sin β
5. 5. sin(α+0)=sin α
6. 6. cos(α−0)=−cos α
7. 7. sin(90°−α)=cos α
8. 8. cos(90°+α)=sin α

Вариант Б — взаимная проверка преобразований

В варианте Б проверяйте сначала знаки при сложении и вычитании двух формул. Утверждения не предполагают, что α и β острые; формулы верны для всех действительных углов, поэтому неверную запись опровергают одним подходящим значением.

1. 9. sin(α+β)+sin(α−β)=2sin α cos β
2. 10. sin(α+β)−sin(α−β)=2sin α cos β
3. 11. cos(α+β)+cos(α−β)=2cos α cos β
4. 12. cos(α−β)−cos(α+β)=−2sin α sin β
5. 13. sin(α+β)=sin(β+α)
6. 14. sin(α−β)=sin(β−α)
7. 15. cos(α−β)=cos(β−α)
8. 16. cos(α+β)=cos α cos β−sin α cos β

Ключ для взаимопроверки

Ответы варианта А

1. 1. Верно — формула синуса суммы.
2. 2. Неверно — перед cos α sin β нужен минус.
3. 3. Неверно — перед sin α sin β нужен минус.
4. 4. Верно — косинус разности.
5. 5. Верно: cos 0=1, sin 0=0.
6. 6. Неверно: cos(α−0)=cos α.
7. 7. Верно для любых α, углы в градусах.
8. 8. Неверно: cos(90°+α)=−sin α.

Ответы варианта Б

1. 9. Верно: слагаемые cos α sin β сокращаются.
2. 10. Неверно: разность равна 2cos α sin β.
3. 11. Верно: слагаемые sin α sin β сокращаются.
4. 12. Неверно: разность равна +2sin α sin β.
5. 13. Верно: сумма не зависит от порядка слагаемых.
6. 14. Неверно: sin(α−β)=−sin(β−α).
7. 15. Верно: косинус чётная функция.
8. 16. Неверно: второй множитель — sin β, а не cos β.

Контрпример и пояснение

Проверьте ошибочную запись из пункта 3 при α=β=45°: левая часть cos 90°=0, а ошибочная правая часть cos²45°+sin²45°=1. Одного такого контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть «для всех α, β». Напротив, для доказательства пункта 9 раскройте обе формулы полностью: (sin α cos β+cos α sin β)+(sin α cos β−cos α sin β)=2sin α cos β.

Как объяснить неочевидную разницу в пунктах 10 и 12? При вычитании скобка перед вторым выражением меняет знаки двух его слагаемых. Поэтому sin(α+β)−sin(α−β) оставляет удвоенный cos α sin β, а cos(α−β)−cos(α+β) оставляет удвоенный sin α sin β. Если написать знакомые «2sin» и «2cos» наугад, можно получить неверное равенство, которое совпадёт с верным только при некоторых специальных углах.

Проверка формул через частные случаи

Чтобы быстро обнаружить неверную формулу синуса суммы, можно взять α=β=30°. Тогда sin(α+β)=sin60°=√3/2. Неверное выражение sin α+sin β равно 1. Для косинуса разности удобно взять α=β: cos(α−α)=cos0=1. Формула cos α cos α+sin α sin α также равна 1 благодаря основному тригонометрическому тождеству, а запись с минусом перед sin²α вместо этого дала бы cos(2α) и обычно не была бы равна единице. Эти частные случаи полезны как инструмент диагностики.

Однако подстановка сама по себе не объясняет, почему верная формула работает всегда. Если требуется доказательство, раскройте правую или левую часть через формулы суммы и разности. Так, cos(α−β)=cos α cos β+sin α sin β следует из формулы косинуса суммы с углом −β: cos(−β)=cos β, sin(−β)=−sin β; двойная смена знака перед произведением даёт плюс. Это объясняет, почему знак в формуле косинуса разности противоположен знаку в формуле косинуса суммы.

Разбор двух задач, в которых ошибка особенно незаметна

В задании 12 ученику предлагают cos(α−β)−cos(α+β)=−2sin α sin β. Раскрывая две формулы, получаем (cos α cos β+sin α sin β)−(cos α cos β−sin α sin β). Скобки после минуса раскрываются со сменой знака, поэтому результат равен +2sin α sin β. Если не поменять знак у второго произведения, ошибочная правая часть может случайно выглядеть правдоподобно. В задании 16 второй член ошибочно записан sin α cos β. Проверка при β=0 показывает проблему: правильная формула cos(α+0)=cos α, а ошибочная запись превращается в cos α−sin α, что не равно cos α при общем α.

После взаимопроверки предложите учащимся объяснить словами различие между четырьмя формулами: для синуса суммы и разности вторая пара слагаемых сохраняет функции и меняет только знак; для косинуса сумма функций заменяется разностью произведений, а у разности углов, наоборот, оба произведения складываются. Такой словесный контроль помогает избежать механического переноса «плюса» и «минуса» между разными формулами.