Поиск неверных границ интегрирования при вертикальных ограничениях: карточки с ответами, 11 класс

Короткая диагностика. Здесь границы задают вертикальные прямые, а не обязательно абсциссы пересечения графиков. Проверьте, какие из предложенных учеником границ являются действительными ограничениями области.

Три контрольных вопроса

1. Даны x=−3 и x=2. Можно ли заменить эти границы корнями графика y=x²−4, если требуется площадь внутри полосы?
2. У двух графиков есть пересечения внутри [−4;3]. Достаточно ли интегрировать разность по всему отрезку без модуля?
3. Если пересечение двух графиков приходится на x=1, а стенки стоят при x=1 и x=4, нужно ли делить участок в x=1 на два ненулевых промежутка?

Схема решения: выписать обе вертикальные прямые; вычислить разность высот двух графиков; проверить, где она меняет знак внутри полосы; сложить положительные площади. Наоборот, нахождение корней разности без проверки стенок может дать площадь совсем другой области.

Восемь задач на найденную ошибку

1. Границы x=-3 и x=3, графики y=x² + 1 и y=5. Ученик интегрировал от x=−2 до x=2. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
2. Границы x=-4 и x=2, графики y=x² − 2 и y=7. Ученик интегрировал от x=−3 до x=3. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
3. Границы x=-2 и x=4, графики y=x² + 1 и y=2. Ученик интегрировал от x=−1 до x=1. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
4. Границы x=-5 и x=-1, графики y=x² − 13 и y=3. Ученик интегрировал от x=−4 до x=4. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
5. Границы x=0 и x=5, графики y=x² + 5 и y=9. Ученик интегрировал от x=−2 до x=2. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
6. Границы x=-3 и x=3, графики y=x² − 5 и y=4. Ученик интегрировал от x=−3 до x=3. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
7. Границы x=-1 и x=2, графики y=x² + 5 и y=6. Ученик интегрировал от x=−1 до x=1. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.
8. Границы x=-5 и x=-2, графики y=x² − 1 и y=3. Ученик интегрировал от x=−2 до x=2. Проверьте пределы, найдите все необходимые точки смены порядка графиков и площадь внутри заданной полосы.

Быстрый ключ и объяснения

1. Нет. Полоса ограничена x=−3 и x=2; корни задают точки смены знака, но не заменяют стенки.
2. Нет. При изменении верхнего графика нужно либо взять |f−g|, либо разделить интеграл в точках пересечения.
3. Нет. Точка x=1 совпадает с краем полосы, внутреннее разбиение не требуется.
4. Истинные внешние границы [-3; 3], разность графиков x²−4. Точки разбиения внутри полосы: -3, -2, 2, 3. S=7/3 + 32/3 + 7/3=46/3 кв. ед. Нули ±2 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
5. Истинные внешние границы [-4; 2], разность графиков x²−9. Точки разбиения внутри полосы: -4, -3, 2. S=10/3 + 100/3=110/3 кв. ед. Нули ±3 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
6. Истинные внешние границы [-2; 4], разность графиков x²−1. Точки разбиения внутри полосы: -2, -1, 1, 4. S=4/3 + 4/3 + 18=62/3 кв. ед. Нули ±1 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
7. Истинные внешние границы [-5; -1], разность графиков x²−16. Точки разбиения внутри полосы: -5, -4, -1. S=13/3 + 27=94/3 кв. ед. Нули ±4 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
8. Истинные внешние границы [0; 5], разность графиков x²−4. Точки разбиения внутри полосы: 0, 2, 5. S=16/3 + 27=97/3 кв. ед. Нули ±2 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
9. Истинные внешние границы [-3; 3], разность графиков x²−9. Точки разбиения внутри полосы: -3, 3. S=36=36 кв. ед. Нули ±3 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
10. Истинные внешние границы [-1; 2], разность графиков x²−1. Точки разбиения внутри полосы: -1, 1, 2. S=4/3 + 4/3=8/3 кв. ед. Нули ±1 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.
11. Истинные внешние границы [-5; -2], разность графиков x²−4. Точки разбиения внутри полосы: -5, -2. S=27=27 кв. ед. Нули ±2 нужны лишь там, где они лежат внутри полосы.

Проверьте себя: какие точки являются заданными стенками, а какие служат только для изменения знака? Площадь можно получить интегралом модуля разности функций. Не добавляйте внеполосные куски, даже если графики ещё пересекаются за стенками; это уже другая задача.