Поиск ошибки при использовании корней для произведения двух линейных множителей: проверочная работа по математике, 9 класс

Проверочная работа: два линейных множителя и неверный выбор промежутка

Сначала решите показательный случай: (x + 2)(x − 5) < 0. Нули: −2 и 5. Между ними произведение отрицательно, поэтому верно (−2; 5). Ученик отметил внешние лучи: он использовал корни как готовый ответ, не проверив знак произведения. Обратная проверка: x = 0 даёт 2 · (−5) = −10, то есть 0 должен входить в решение. Границы при строгом неравенстве исключены.

Если один из множителей или произведение умножить на отрицательное число, знак произведения между теми же корнями станет противоположным. Поэтому нельзя угадывать знак только по расположению нулей. Для каждого задания объясните, в какой точке логика ученика нарушилась, и приведите одну контрольную подстановку.

Проверьте дополнительно влияние масштаба множителей. Например, (2x − 4)(x + 3) имеет нули 2 и −3; вынесенная положительная двойка не меняет знак. Если же минус стоит перед всем произведением, положительные и отрицательные области поменяются местами. Отметьте отдельно, почему корни можно включать только при знаках ≥ и ≤. Подстановка x = 2 в любое из этих произведений даёт 0, значит при строгом знаке этого значения нет в ответе.

Частая техническая ошибка — перепутать нуль множителя (x + 3) с числом 3. Решая x + 3 = 0, получаем −3. Если перепутать знак корня, то вся схема промежутков будет построена неверно. Ещё одна ошибка — считать отрицательным весь внешний промежуток только потому, что один из коэффициентов в скобках отрицателен: необходимо перемножать знаки двух линейных выражений. На каждом промежутке достаточно одного тестового числа, так как внутри промежутка ни один множитель не обращается в нуль.

Изменённое условие и обратная проверка

Сравните пары: (x − 1)(x − 6) ≥ 0 и −(x − 1)(x − 6) ≥ 0. Корни одинаковы, а ответы разные: в первой задаче внешние лучи с границами; во второй — отрезок [1; 6]. Следовательно, одного нахождения корней недостаточно.

Часть I. Определите, где нарушено правило знаков

1. (x + 4)(x − 3) > 0. Ученик получил (−∞; −4] ∪ [3; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
2. (x + 1)(x − 5) < 0. Ученик получил (−∞; −1) ∪ (5; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
3. −(x + 5)(x + 2) ≥ 0. Ученик получил (−5; −2). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
4. (x − 0)(x − 7) ≤ 0. Ученик получил (−∞; 0] ∪ [7; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
5. −(x + 3)(x − 6) < 0. Ученик получил (−∞; −3] ∪ [6; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
6. (x − 2)(x − 9) > 0. Ученик получил (2; 9). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
7. (x + 7)(x + 1) ≥ 0. Ученик получил (−∞; −7) ∪ (−1; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
8. −(x + 2)(x − 4) ≤ 0. Ученик получил [−2; 4]. Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.

Часть II. Проверьте исправленный ответ подстановкой

9. −(x − 1)(x − 8) > 0. Ученик получил [1; 8]. Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
10. (x + 6)(x − 2) < 0. Ученик получил [−6; 2]. Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
11. −(x + 9)(x + 4) ≥ 0. Ученик получил (−∞; −9] ∪ [−4; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
12. (x − 3)(x − 10) ≤ 0. Ученик получил (3; 10). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
13. −(x + 8)(x − 0) < 0. Ученик получил (−8; 0). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
14. (x − 4)(x − 11) > 0. Ученик получил (−∞; 4] ∪ [11; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
15. (x + 10)(x − 1) ≥ 0. Ученик получил [−10; 1]. Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.
16. −(x + 5)(x − 9) ≤ 0. Ученик получил (−∞; −5) ∪ (9; +∞). Найдите ошибку; дайте правильный ответ и проверьте знаком при одном значении между корнями.

Подробный ключ и контроль знака

1. (−∞; −4) ∪ (3; +∞). Корни −4 и 3; при x = −1/2 произведение отрицательно (−49/4). Корни не включаются: неравенство строгое.
2. (−1; 5). Корни −1 и 5; при x = 2 произведение отрицательно (−9). Корни не включаются: неравенство строгое.
3. [−5; −2]. Корни −5 и −2; при x = −7/2 произведение положительно (9/4). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
4. [0; 7]. Корни 0 и 7; при x = 7/2 произведение отрицательно (−49/4). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
5. (−∞; −3) ∪ (6; +∞). Корни −3 и 6; при x = 3/2 произведение положительно (81/4). Корни не включаются: неравенство строгое.
6. (−∞; 2) ∪ (9; +∞). Корни 2 и 9; при x = 11/2 произведение отрицательно (−49/4). Корни не включаются: неравенство строгое.
7. (−∞; −7] ∪ [−1; +∞). Корни −7 и −1; при x = −4 произведение отрицательно (−9). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
8. (−∞; −2] ∪ [4; +∞). Корни −2 и 4; при x = 1 произведение положительно (9). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
9. (1; 8). Корни 1 и 8; при x = 9/2 произведение положительно (49/4). Корни не включаются: неравенство строгое.
10. (−6; 2). Корни −6 и 2; при x = −2 произведение отрицательно (−16). Корни не включаются: неравенство строгое.
11. [−9; −4]. Корни −9 и −4; при x = −13/2 произведение положительно (25/4). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
12. [3; 10]. Корни 3 и 10; при x = 13/2 произведение отрицательно (−49/4). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
13. (−∞; −8) ∪ (0; +∞). Корни −8 и 0; при x = −4 произведение положительно (16). Корни не включаются: неравенство строгое.
14. (−∞; 4) ∪ (11; +∞). Корни 4 и 11; при x = 15/2 произведение отрицательно (−49/4). Корни не включаются: неравенство строгое.
15. (−∞; −10] ∪ [1; +∞). Корни −10 и 1; при x = −9/2 произведение отрицательно (−121/4). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.
16. (−∞; −5] ∪ [9; +∞). Корни −5 и 9; при x = 2 произведение положительно (49). Корни включаются, так как неравенство нестрогое.

Рубрика оценивания: 1 балл за верные корни, 1 за выбор промежутков, 1 за границы и 1 за контрольную подстановку. В работе важно не перепутать корни с решением: корни лишь делят ось на области постоянного знака. Если ведущий множитель отрицателен, направление «плюс/минус» меняется.