Поиск ошибки при использовании корней при заданном конечном промежутке — диагностика ошибок, 9 класс

Памятка перед печатью: корни, знак и ограниченная область

Когда x разрешён лишь на заданном конечном промежутке D, сначала решают неравенство на всей числовой прямой, а потом пересекают полученное множество с D. Это три разные операции: нахождение нулей, выбор знака, учёт доступных x. Ошибка типична: ученик правильно находит корни, но оставляет часть ответа вне D либо неверно расставляет круглые и квадратные скобки.

Пример: (x − 1)(x − 5) ≤ 0 при x ∈ [0; 4). На всей прямой получаем [1; 5]. Пересечение с [0; 4) равно [1; 4). Число 4 нельзя включить, поскольку оно не принадлежит D, хотя удовлетворяет исходному неравенству.

Обратите внимание на различие между нестрогим неравенством и замкнутым допустимым промежутком: их границы определяются независимо. Если x равен корню и неравенство допускает равенство, это ещё не значит, что x принадлежит D. Если конец D открытый, он остаётся исключённым в конечном ответе. В варианте Б есть случай с пустым пересечением — не пытайтесь подменять его ближайшим корнем.

Вариант А — отметьте ошибку в предложенном ответе

1. (x − 1)(x − 4) ≤ 0 при x ∈ [0; 6]. Предложен ответ [0; 6]. Найдите ошибку и исправьте запись.
2. (x + 2)(x − 3) > 0 при x ∈ [−4; 2]. Предложен ответ [−4; −2]. Найдите ошибку и исправьте запись.
3. (x + 1)(x − 2) ≥ 0 при x ∈ (−1; 4]. Предложен ответ (−1; 4]. Найдите ошибку и исправьте запись.
4. (x + 3)(x − 1) < 0 при x ∈ [−5; 0). Предложен ответ [−3; 0). Найдите ошибку и исправьте запись.
5. −(x − 2)(x − 5) ≥ 0 при x ∈ [1; 6]. Предложен ответ [1; 6]. Найдите ошибку и исправьте запись.
6. (x − 4)(x − 7) < 0 при x ∈ [−1; 5]. Предложен ответ (4; 7). Найдите ошибку и исправьте запись.
7. (x + 4)(x + 1) ≤ 0 при x ∈ (−3; 2]. Предложен ответ [−4; −1]. Найдите ошибку и исправьте запись.
8. −(x + 2)(x − 2) > 0 при x ∈ [−4; 0]. Предложен ответ [−2; 0]. Найдите ошибку и исправьте запись.

Ключ варианта А — преподавателю

1. [1; 4]. Нули 1 и 4; вся допустимая область не является решением.
2. [−4; −2). Точка −2 даёт нуль, поэтому справа круглая скобка.
3. [2; 4]. Промежуток (−1; 2) даёт отрицательное произведение.
4. (−3; 0). −3 — корень строгого неравенства и не входит в ответ.
5. [2; 5]. Отрицательный множитель делает произведение неотрицательным между корнями.
6. (4; 5]. Область D заканчивается в 5, а не в 7.
7. (−3; −1]. Точка −4 не принадлежит D, хотя является корнем.
8. (−2; 0]. −2 исключается строгим неравенством.

Вариант Б — новые граничные случаи

9. (x − 3)(x − 6) ≥ 0 при x ∈ (0; 5]. Предложен ответ [0; 3]. Найдите ошибку и исправьте запись.
10. (x + 1)(x − 4) ≤ 0 при x ∈ [−2; 1). Предложен ответ [−1; 1]. Найдите ошибку и исправьте запись.
11. −(x − 1)(x − 5) < 0 при x ∈ [0; 7). Предложен ответ (1; 5). Найдите ошибку и исправьте запись.
12. (x + 5)(x + 2) > 0 при x ∈ [−5; 0]. Предложен ответ [−5; −2). Найдите ошибку и исправьте запись.
13. −(x + 3)(x − 2) ≤ 0 при x ∈ (−4; 3]. Предложен ответ [−3; 2]. Найдите ошибку и исправьте запись.
14. (x − 2)(x − 6) < 0 при x ∈ [−1; 2]. Предложен ответ {2}. Найдите ошибку и исправьте запись.
15. (x + 4)(x − 3) ≥ 0 при x ∈ [−6; 4). Предложен ответ [−4; 3]. Найдите ошибку и исправьте запись.
16. −(x + 1)(x − 1) ≥ 0 при x ∈ (−1; 1). Предложен ответ [−1; 1]. Найдите ошибку и исправьте запись.

Ключ варианта Б — преподавателю

9. (0; 3]. Нуль не входит в D.
10. [−1; 1). 1 исключено областью D.
11. [0; 1) ∪ (5; 7). Между корнями знак отрицательного произведения положителен.
12. (−2; 0]. Вне корней положительно; левый луч исключён областью D.
13. (−4; −3] ∪ [2; 3]. Для −(x + 3)(x − 2) ≤ 0 нужны внешние лучи.
14. ∅. В 2 произведение нулевое и строгому знаку не удовлетворяет.
15. [−6; −4] ∪ [3; 4). На середине знак отрицателен, а не положителен.
16. (−1; 1). Корни исключены ограничением D, даже при нестрогом знаке.

Для взаимной проверки ученик должен назвать отдельно решение на всей числовой прямой и его пересечение с D. Если ответы различаются только типом скобки, проверьте два условия для конца промежутка: исходное неравенство и принадлежность D. Если ни одной допустимой точки нет, корректный ответ — ∅, а не {0}.