Поиск ошибки при приведении подобных слагаемых: задания с ответами для 7 класса

7 класс · Алгебра · Рабочий материал для печати

Тренажёр устроен как серия ошибочных ученических решений. В каждом случае требуется не только получить корректную запись, но и определить причину неверного преобразования.

От частного случая к общему правилу

Подобные слагаемые имеют одинаковые буквенные части (с теми же показателями степеней). 3x + 5x = 8x, но 3x + 5y объединять нельзя. Знак перед коэффициентом — часть числа: в выражении 2x − 5x сумма коэффициентов равна −3.

Разобранный образец

Ошибочно: 4a − 7a = 3a. Исправление: 4a − 7a = (4 − 7)a = −3a. Для проверки подставьте a = 2: слева 8 − 14 = −6, верный ответ −3·2 = −6, неверный 3·2 = 6.

Карточка 1. Узнайте тип ошибки (1–8)

В каждой строке приведено неверное равенство. Исправьте правую часть и объясните, какой признак подобия или закон арифметики нарушен.

1. Найдите и исправьте ошибку: 3x + 5x = 8x².
2. Найдите и исправьте ошибку: 7a − 2a = 5.
3. Найдите и исправьте ошибку: 4x + 3y = 7xy.
4. Найдите и исправьте ошибку: 6m − m = 6.
5. Найдите и исправьте ошибку: 2a + 3 − a = 4a.
6. Найдите и исправьте ошибку: 5x − (2x + 1) = 3x + 1.
7. Найдите и исправьте ошибку: 3(2x + 1) = 6x + 1.
8. Найдите и исправьте ошибку: −2y + 5y = −7y.

Карточка 2. Ошибки раскрытия скобок (9–15)

9. Решение содержит ошибку: 4p + 2q − p = 5pq. Покажите правильное преобразование.
10. Решение содержит ошибку: 2x + 7 − 5x = 3x + 7. Покажите правильное преобразование.
11. Решение содержит ошибку: 3(a + 2) + 2a = 3a + 8. Покажите правильное преобразование.
12. Решение содержит ошибку: 2x − 3 + 4 − x = 5x + 1. Покажите правильное преобразование.
13. Решение содержит ошибку: −(x − 4) + 2x = x − 4. Покажите правильное преобразование.
14. Решение содержит ошибку: 7t − 3(t − 2) = 4t − 6. Покажите правильное преобразование.
15. Решение содержит ошибку: 2(3a − b) − a = 5a − b. Покажите правильное преобразование.

Самостоятельная практика (16–20)

16. Проверьте равенство подстановкой a = 2, x = 2, y = 2, b = 2, где эти переменные встречаются; затем исправьте: 9y − (4y − 1) = 5y − 1.
17. Проверьте равенство подстановкой a = 2, x = 2, y = 2, b = 2, где эти переменные встречаются; затем исправьте: 3x + 2y − x − 5y = 2x + 3y.
18. Проверьте равенство подстановкой a = 2, x = 2, y = 2, b = 2, где эти переменные встречаются; затем исправьте: 4(2a + 1) − 3a = 5a + 1.
19. Проверьте равенство подстановкой a = 2, x = 2, y = 2, b = 2, где эти переменные встречаются; затем исправьте: −3(x − 2) + x = −2x − 6.
20. Проверьте равенство подстановкой a = 2, x = 2, y = 2, b = 2, где эти переменные встречаются; затем исправьте: 2(a + b) + a − 2b = 2a.

Место для решения: ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

Алгоритм проверки

1. Подчеркните одинаковые буквенные части. 2. Отдельно перепишите числовые коэффициенты с их знаками. 3. Если есть скобки, раскройте их перед приведением подобных членов. 4. Подставьте любое небольшое значение переменной в исходное и исправленное выражения: результаты должны совпасть.

Проверочные ответы и диагноз

1. 8x. Сложили коэффициенты, но ошибочно изменили степень.
2. 5a. Потеряли буквенную часть.
3. 4x + 3y. x и y — разные буквы; слагаемые не подобны.
4. 5m. m — это 1m, поэтому 6m − 1m = 5m.
5. a + 3. Сложить с a можно только −a, а не число 3.
6. 3x − 1. Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого.
7. 6x + 3. Умножение на 3 действует и на свободный член.
8. 3y. Сумма коэффициентов −2 + 5 равна 3.
9. 3p + 2q. Только p и −p объединяются; q остаётся отдельно.
10. −3x + 7. 2 − 5 = −3, не +3.
11. 5a + 6. 3a + 6 + 2a = 5a + 6.
12. x + 1. 2x − x = x; −3 + 4 = 1.
13. x + 4. −(x − 4) = −x + 4.
14. 4t + 6. −3 · (−2) = +6.
15. 5a − 2b. 2 умножается на оба слагаемых в скобках.
16. 5y + 1. Отрицание −1 превращается в +1.
17. 2x − 3y. 2 − 5 = −3, ошибка знака у y.
18. 5a + 4. 4 · 1 = 4, не 1.
19. −2x + 6. −3 · (−2) = +6.
20. 3a. 2a + a = 3a; члены с b взаимно уничтожаются.

В этой подборке все 20 исходных равенств специально неверны — задача состоит не в угадывании «верно/неверно», а в точном исправлении правой части. Самопроверка по подстановке не заменяет объяснение: два разных выражения иногда совпадают для одного значения переменной, поэтому нужно также указать правило.

Критерий оценивания: 1 балл за исправление и 1 балл за содержательное объяснение в каждом задании, максимум 40 баллов. При 32–40 баллах можно переходить к более длинным выражениям, при 22–31 полезно вернуться к знакам после скобок; при результате ниже 22 сначала потренируйте группировку одноимённых слагаемых без скобок.

Разделяем ошибки по причинам

Первая группа — потеря буквенной части. Равенство 7a − 2a = 5 неправильно, потому что складываются и вычитаются коэффициенты при одной и той же букве, а сама буква остаётся: 5a. Аналогично, если 6m − m, не стоит считать отдельно «6 − 1», забывая m. Полезно буквально вынести букву за скобку: 6m − m = (6 − 1)m.

Вторая группа — объединение непохожих членов. Запись 4x + 3y = 7xy неверна сразу в двух отношениях: разные буквенные части нельзя складывать как одинаковые, а операция сложения не превращается в умножение. Для проверки достаточно выбрать x = 1, y = 2: слева получится 4 + 6 = 10, справа 7·1·2 = 14. Понимание этого правила пригодится позднее при работе с многочленами.

Третья группа — ошибка раскрытия скобок. В выражении 5x − (2x + 1) вычитается вся сумма, поэтому результат 3x − 1. Если в скобках стоит разность, то минус перед скобками меняет оба знака: 9y − (4y − 1) = 9y − 4y + 1 = 5y + 1. Удобно надписывать маленький знак минуса над каждым слагаемым, пока навык не стал устойчивым.

Четвёртая группа — неверное распределение множителя. Закон 3(a + 2) = 3a + 6 означает умножение каждого слагаемого в скобке. В записи 3a + 2 множитель 3 ошибочно применили только к первому слагаемому. Для визуальной проверки можно представить три одинаковых набора, каждый из которых содержит a предметов и ещё два предмета: получится 3a + 6.

Почему одной подстановки недостаточно

Подстановка конкретного числа — хороший способ опровергнуть неверное равенство, но иногда два разных выражения случайно дают одинаковый результат при выбранном значении. Например, x и x² совпадают при x = 1, но не равны для всех x. Поэтому при проверке упрощения желательно сначала применить правило, затем подтвердить себя на двух разных значениях переменной. Для выражений с несколькими буквами значения выбирают независимо, например x = 2, y = 3.

Работа с ошибками полезнее механического переписывания ответов: ученик должен проговорить, что именно было нарушено — знак, коэффициент, правило скобок или условие подобия. После проверки предложите закрыть ключ и правильно переписать три самых трудных примера. Это короткое повторение показывает, действительно ли причина ошибки понятна.

Порядок работы: ученик выполняет задания до раздела «Ответы»; учитель или родитель сверяет ключ и просит объяснить обнаруженные ошибки. Последовательность тем может различаться в программах школ России и Казахстана.