Поиск ошибки при умножении обеих частей на выражение с неизвестным знаком: задания от простого к сложному, 8 класс

Вступительная ловушка

Ученик решал (x−1)/(x+2)>0 и «сократил» знаменатель умножением, получив x−1>0, то есть x>1. Но, например, x=−3 тоже удовлетворяет исходному неравенству: (−4)/(−1)=4>0. Потеряна целая часть ответа: x<−2.

Два правильных способа вместо слепого умножения

Способ А. Интервалы знакопостоянства

У дроби (x−1)/(x+2) нуль числителя 1 и запрет знаменателя −2. На промежутках (−∞;−2), (−2;1), (1;+∞) определяем знак по пробному значению: соответственно плюс, минус, плюс. Ответ: (−∞;−2)∪(1;+∞).

Способ Б. Разбиение по знаку множителя

Если x+2>0, умножение сохраняет знак: x−1>0 ⇒ x>1. Если x+2<0, знак неравенства при умножении переворачивается: x−1<0 ⇒ x<−2. Точка −2 запрещена. Объединяем x<−2 и x>1. Случай x+2=0 отдельно исключён из ОДЗ.

Практикум: найдите конкретную ошибку и исправьте

В заданиях ошибочный ход приведён сознательно. Для каждого: назовите, где пропал контроль знака; затем укажите ОДЗ и верное множество решений.

1. Ошибка: из 1/(x−2)>0 после умножения на x−2 написали 1>0 для всех x.
2. Ошибка: 3/(x+4)<0 заменили на 3<0, объявив отсутствие решений.
3. Ошибка: из (x−1)/(x−5)>0 получили только x>1, поскольку умножили на x−5.
4. Ошибка: (x+3)/(x−2)<0 преобразовали в x+3<0 и получили x<−3.
5. Ошибка: из 2/(x+1)≥1 сделали 2≥x+1 и ответ x≤1 без ограничений.
6. Ошибка: (x+2)/(x−1)≥1 умножили на x−1 и получили 3≥0 при любом x≠1.
7. Ошибка: (x−4)/(x+2)≤1 объявили верным при x≤−2, умножив без смены знака.
8. Ошибка: из (x+1)/(x−3)>1 получили x+1>x−3 и вывод «все x, кроме 3».

Продолжение: нули, полюсы и включение границ

1. Ошибка: (x−2)/(x+5)≥0 решили как x≥2, не проверяя отрицательные x.
2. Ошибка: (x+7)/(x−1)≤0 решили как x≤−7.
3. Ошибка: (x−3)/(2−x)>0 назвали верным при x>3.
4. Ошибка: из x/(x−4)<0 записали x<0, забыв знак знаменателя.
5. Ошибка: 1/(x+6)≤−1 решили как 1≤−x−6, получив x≤−7.
6. Ошибка: (x+1)/(x−2)>2 умножили на x−2 и получили x<5 без указания ОДЗ.
7. Ошибка: (2x−3)/(x+3)≥2 решили как 2x−3≥2x+6, то есть «нет решений».
8. Ошибка: из 2/(x−1)<1 записали 2<x−1, откуда x>3.

Подробный разбор четырёх спорных примеров

Пример 5. Неравенство 2/(x+1)≥1 нельзя умножать на x+1 без оговорки о его знаке. Переносим единицу влево и приводим к общей дроби: (1−x)/(x+1)≥0. Нуль числителя — x=1, запрет — x=−1. На (−1;1) и в x=1 дробь неотрицательна. Следовательно, ответ (−1;1]. Пункт x=−1 никогда не входит в ответ, а отрицательные числа меньше −1 дают отрицательную дробь.

Пример 10. При (x+7)/(x−1)≤0 критические точки −7 и 1. Если x=−8, числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна; если x=0, числитель положителен, а знаменатель отрицателен, дробь отрицательна. Если x=2, обе части положительны. Включаем x=−7 из-за знака ≤, а x=1 исключаем. Получаем [−7;1), а не левый луч x≤−7.

Пример 13. Из 1/(x+6)≤−1 переносом получаем (x+7)/(x+6)≤0. На промежутке [−7;−6) дробь неположительна. Проверка x=−7: 1/(−1)=−1, равенство выполнено; x=−6 недопустимо; x=−8 даёт −1/2, а оно больше −1, не меньше. Этот пример показывает, почему проверять только знак знаменателя при наличии числа справа уже недостаточно.

Пример 16. Неравенство 2/(x−1)<1 переходит в (3−x)/(x−1)<0. При x<1 числитель положителен, знаменатель отрицателен; при x>3 числитель отрицателен, знаменатель положителен. При x=3 левая часть исходного выражения равна 1, а знак строгий, значит x=3 не подходит. В точке x=1 дробь не определена. Ответ: x<1 либо x>3.

Быстрый самоконтроль: после решения выберите один целый x из каждого указанного промежутка. Но подстановка нескольких чисел не заменяет доказательство: между двумя пробными точками может находиться полюс, меняющий знак. Именно поэтому границы от числителя и знаменателя нужно выписывать до проверки чисел.

Если учащийся захотел умножить обе части на выражение с неизвестным знаком, попросите сначала дописать две строки: «при множителе >0 знак не меняется», «при множителе <0 знак обращается». Для множителя =0 отдельно проверьте исходную область определения. Такой приём исправляет не только ответ, но и привычку пропускать логическое условие.

Исправленные решения и объяснения

1. Правильно x>2: знак знаменателя должен быть положительным, x=2 запрещён.
2. Правильно x<−4, поскольку при x+4<0 дробь отрицательна.
3. Ответ x<1 или x>5. На обоих лучах числитель и знаменатель одного знака; x=5 исключён, x=1 даёт 0.
4. Верно −3<x<2: числитель положителен, знаменатель отрицателен.
5. Ответ −1<x≤1: после переноса (1−x)/(x+1)≥0, критические точки −1 и 1.
6. Правильно x>1: разность сторон 3/(x−1)≥0 имеет положительный знак только справа от 1.
7. Ответ x>−2. Разность (x−4)/(x+2)−1=−6/(x+2)≤0.
8. Ответ x>3: после переноса 4/(x−3)>0.
9. Ответ x<−5 или x≥2; при x=−5 ОДЗ нарушена, а x=2 даёт допустимый нуль.
10. Ответ −7≤x<1. Нуль при −7 включён, полюс 1 исключён.
11. Ответ 2<x<3. При x=2 делить нельзя, при x=3 дробь равна нулю.
12. Ответ 0<x<4. Между 0 и 4 числитель положителен, знаменатель отрицателен.
13. Правильно −7≤x<−6. После переноса (x+7)/(x+6)≤0.
14. Ответ 2<x<5: приведя к одной дроби, получаем (5−x)/(x−2)>0.
15. Ответ x<−3: после переноса −9/(x+3)≥0.
16. Ответ x<1 или x>3. Разность (3−x)/(x−1)<0; x=1 запрещён, x=3 не подходит из-за строгого знака.

Сравнение методов: что удобнее?

Контроль для учителя: ответ без ОДЗ не считается полным, даже если интервалы случайно угаданы. Полезно попросить подобрать по одному контрольному значению из каждого интервала и отдельно объяснить, почему запрещённая точка не может входить в ответ.