Поиск ошибки в координатах точки по таблице последовательных перемещений — тренажёр для 6 класса

Как обнаружить ошибку в последовательных перемещениях

Каждый переход задаётся парой изменений (Δx; Δy). После шага (a; b) координаты (x; y) превращаются в (x + a; y + b). Если шагов несколько, исправлять нужно первую неверную строку, а не только последний ответ: дальнейшие координаты зависят от неё.

Базовый пример. Из P(−4; 2) выполнили ходы (+6; 0), (0; −7), (−3; +1). Получаем P₁(2; 2), P₂(2; −5), P₃(−1; −4). Ученик записал P₃(−1; 4), перепутав знак последней ординаты. Обратная проверка: из (−1; −4) обратными ходами (+3; −1), (0; +7), (−6; 0) возвращаемся к (−4; 2).

Маршрут A: найди первую ошибочную строку

Для каждой строки 1–6 назовите номер первого неверного хода, исправленную координату и итог маршрута. Наиболее частая ловушка: неверные координаты после второй ошибки не обязательно означают две независимые ошибки — иногда это следствие первой.

Маршрут B: восстанови старт по последней точке

Задания 7–11: найдите исходные координаты и проверьте прямым вычислением. При обратной проверке сначала отменяется последний ход, затем предпоследний. Если оба перехода имели противоположные знаки, это особенно важно.

Маршрут C: спорные записи в коротком дневнике

Задания 12–16: определите, можно ли доверять итоговой строке. Не требуется чертить каждый маршрут: сложите отдельно все Δx, отдельно все Δy; затем проверьте ответ в обратную сторону.

Ключ с решениями и обратной проверкой

Исправление таблицы

1. 1. Первая ошибка в ходе 1: правильная позиция (3; 5), а окончание маршрута (1; 0). В ошибочной таблице начиная с хода 1 сдвиг равен (1; 0); обратный проход от исправленного конца возвращает (−3; 5).
2. 2. Первая ошибка в ходе 2: правильная позиция (−2; 4), а окончание маршрута (2; 3). В ошибочной таблице начиная с хода 2 сдвиг равен (0; −2); обратный проход от исправленного конца возвращает (7; −2).
3. 3. Первая ошибка в ходе 3: правильная позиция (−1; 3), а окончание маршрута (−1; 3). В ошибочной таблице начиная с хода 3 сдвиг равен (−2; 0); обратный проход от исправленного конца возвращает (−6; −4).
4. 4. Первая ошибка в ходе 1: правильная позиция (−3; 4), а окончание маршрута (3; −3). В ошибочной таблице начиная с хода 1 сдвиг равен (0; 3); обратный проход от исправленного конца возвращает (2; 8).
5. 5. Первая ошибка в ходе 2: правильная позиция (2; −5), а окончание маршрута (2; −2). В ошибочной таблице начиная с хода 2 сдвиг равен (2; 0); обратный проход от исправленного конца возвращает (−9; 1).
6. 6. Первая ошибка в ходе 3: правильная позиция (−1; 7), а окончание маршрута (−1; 7). В ошибочной таблице начиная с хода 3 сдвиг равен (0; −3); обратный проход от исправленного конца возвращает (5; −7).

Обратный старт

7. 7. Начало (−4; 3): из (3; −5) вычитаем векторы в обратном порядке, (0; 6) и (−7; 2). Прямой ход снова даёт (3; −5).
8. 8. Начало (6; −5): из (1; −1) вычитаем векторы в обратном порядке, (−3; 0) и (8; −4). Прямой ход снова даёт (1; −1).
9. 9. Начало (−2; −8): из (3; 0) вычитаем векторы в обратном порядке, (−5; 3) и (0; −11). Прямой ход снова даёт (3; 0).
10. 10. Начало (9; 1): из (1; 6) вычитаем векторы в обратном порядке, (−4; −7) и (12; 2). Прямой ход снова даёт (1; 6).
11. 11. Начало (−7; 6): из (−4; 1) вычитаем векторы в обратном порядке, (3; −5) и (−6; 10). Прямой ход снова даёт (−4; 1).

Контроль конечной точки

12. 12. Верно: правильный конец (2; −3). Проверка: (2; −3) − (4; −6) − (3; 4) = (−5; −1).
13. 13. Ошибка: правильный конец (−4; −5). Проверка: (−4; −5) − (0; −9) − (−8; 0) = (4; 4).
14. 14. Верно: правильный конец (5; −1). Проверка: (5; −1) − (6; 2) − (0; −10) = (−1; 7).
15. 15. Верно: правильный конец (−5; 1). Проверка: (−5; 1) − (−10; −2) − (−3; 9) = (8; −6).
16. 16. Верно: правильный конец (1; −6). Проверка: (1; −6) − (−3; −7) − (12; −4) = (−8; 5).

Запомните различие между направлением движения и знаком итоговых координат. Например, ход вправо на 8 клеток прибавляет 8 к x, но новая абсцисса всё ещё может быть отрицательной, если старт находился далеко слева. Ошибка вида «сдвинулся вправо, значит x положительный» исправляется только записью всей цепочки.

Для работы вдвоём удобно обменяться только столбцом исправленных координат и предложить товарищу восстановить начальную точку. Правильный результат должен пройти оба направления: прямой маршрут по известным перемещениям и обратный маршрут с противоположными векторами. Это исключает совпадения по случайному подсчёту.

Разбор первого маршрута: как отделить первичную ошибку от её последствий

Возьмём первую строку таблицы. Старт (−3; 5), первый ход (+6; 0): абсцисса становится 3, ордината остаётся 5, то есть получаем (3; 5). Следующий ход (0; −8) переводит в (3; −3), последний (−2; +3) — в (1; 0). Если после первого хода у ученика записано (4; 5), а далее он последовательно считает от своей неправильной точки, могут появиться (4; −3) и (2; 0). Последние строки формально согласованы с неверной первой, однако начинать исправление надо именно с первого перехода.

Это различие особенно важно при диагностике. Фраза «ошибочны три строки» не обязательно означает «допущены три вычислительные ошибки». Можно ошибиться один раз, а затем правильно применять алгоритм к неверному промежуточному результату. Правильный алгоритм проверки таблицы: сопоставлять каждую строку не только с предыдущей записанной, но и с самостоятельно вычисленной точкой маршрута, начиная с исходных условий. Сначала отмечайте первый разрыв, потом пересчитывайте всё после него.

Почему обратный ход действительно работает

Перемещение (+7; −2) увеличивает x на 7 и уменьшает y на 2. Его обратное перемещение (−7; +2) делает ровно противоположное. В сумме пары (+7; −2) и (−7; +2) дают (0; 0). Поэтому последовательность из нескольких ходов можно отменить, если применять противоположные векторы с конца. Такой способ не требует чертежа даже при отрицательных координатах.

Пример для задач 7–11: пусть конечная точка равна (3; −5), а последние ходы имели вид (+6; −4), затем (−2; +3). Начинаем с конца: вычитаем (−2; +3), получаем (5; −8). Затем вычитаем (+6; −4), получаем старт (−1; −4). Прямая проверка: (−1; −4) → (5; −8) → (3; −5). Здесь два независимых вычисления сходятся в одной точке.

Способы проверки, которые не заменяют друг друга

Проверка по шагам позволяет указать место, где испортилась таблица. Проверка общей суммой удобна, когда нужно быстро оценить только финальную координату: сложите горизонтальные сдвиги отдельно от вертикальных. Обратная проверка восстанавливает старт и обнаруживает несогласованность конечной точки с набором команд. Если перед вами длинная таблица, применяйте все три метода по очереди — каждый отвечает на собственный вопрос.

Например, горизонтальные команды (+8; 0) и (−11; 0) в сумме дают (−3; 0), несмотря на то что первый ход шёл вправо. Вертикальные (+0; +4) и (0; −9) дают (0; −5). Итоговое смещение (−3; −5) означает перемещение на три единицы влево и пять вниз относительно старта, а не обязательно расположение конечной точки в III четверти. Если старт (10; 10), конец будет (7; 5), то есть I четверть.

Как работать с заданиями самостоятельно и в паре

Для первой группы закройте последнюю колонку таблицы листом и рассчитайте три последовательные точки от старта. Затем откройте колонку: найдите первое расхождение. Для второй группы, наоборот, закройте предполагаемое начало и восстановите его по конечной точке. Для третьей группы начните с суммы ходов, а уже затем подробно объясните обнаруженную неточность. Такой порядок уменьшает риск подогнать вычисления под готовый ученический ответ.

При работе в паре один школьник составляет маршрут из трёх ходов, а другой намеренно делает ровно одну ошибку в таблице и продолжает считать от неверной позиции. Задача проверяющего — не только получить правильный конец, но и указать первую неверную строку. После обмена ролями обсудите, какая ошибка была самой трудной для обнаружения: знак, пропуск нуля или накопление неверного сдвига. При оценивании важно отдельно учитывать найденную причину и правильный пересчёт.

В каких случаях конечная точка не раскрывает ошибку

Иногда ученик делает две ошибки, которые взаимно компенсируются: сначала лишний раз прибавляет 2 к x, а на следующем шаге ошибочно вычитает ещё 2. Итог оказывается правильным, хотя промежуточные точки неверны. Поэтому совпадение только последней строки не доказывает, что весь маршрут выполнен без ошибок. Проверьте хотя бы одну внутреннюю точку, особенно там, где ход меняет направление или проходит через ось. Попросите объяснить, какой именно координате соответствует каждое изменение в команде.

Отдельная ловушка — запись двух чисел в обратном порядке. Например, после старта (−4; 7) и команды (+2; −5) правильный результат равен (−2; 2), а не (2; −2). Числа похожи, но обе координаты указывают на другую точку плоскости. Если в ученической таблице такая подмена появляется в середине, следующая команда будет применена к неверному положению. Обратная проверка обнаруживает нарушение, если выполнять действия над каждой координатой отдельно.

Для оценки самостоятельной работы можно разделить баллы: один — за обнаружение первой неверной строки, один — за вычисление исправленной точки и ещё один — за верный конечный результат с обратной проверкой. В задачах на восстановление старта полезно засчитывать объяснение порядка обратных ходов, а не только пару чисел. Такая проверка показывает, понимает ли школьник идею обратного действия, или просто угадал нужные знаки.