Поиск ошибки в пропорции при разных ориентациях треугольников — математический практикум для 8 класса

Памятка для печати. Поворот, отражение и перестановка фигур на листе не меняют соответствия вершин. Начинайте с углов, а не с положения верхней и нижней сторон. Если A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R, то AB ↔ PQ, BC ↔ QR, AC ↔ PR и верно AB/PQ = BC/QR = AC/PR. Переставлять местами буквы лишь из-за поворота рисунка нельзя.

Правило поиска ошибки: (1) запишите пары вершин; (2) выпишите стороны с этими вершинами; (3) выберите единое направление дробей; (4) найдите коэффициент и проверьте каждую пропорцию. В заданиях намеренно чередуются правильные и неправильные записи: укажите свой вывод и исправление.

Вариант I — треугольники в разных положениях

ABC: AB=6, BC=9, AC=12 см. PQR: PQ=10, QR=15, PR=20 см. Углы установили соответствие A↔P, B↔Q, C↔R, несмотря на поворот рисунка. Правильный коэффициент PQR/ABC равен 5/3.

Девять заданий первого варианта

Задание 1. Ученик написал AB/PQ = BC/QR. Верна ли запись?

Задание 2. Ученик написал AB/PQ = QR/BC. Найдите ошибку.

Задание 3. Треугольник PQR повернули на 180°. Какой отрезок соответствует AC?

Задание 4. Найдите отношение периметров P(ABC):P(PQR).

Задание 5. Ученик предложил AC/PR = AB/PQ = 6/10. Исправлять ли?

Задание 6. Найдите длину PR, если известны AC=12 см и PQ=10 см при AB=6 см.

Задание 7. Ученик сравнил BC=9 с PQ=10 и получил 9/10. Какие отрезки перепутаны?

Задание 8. Чему равно отношение площадей S(ABC):S(PQR)?

Задание 9. Ученик утверждает: «Самая длинная сторона AC должна соответствовать самой короткой PQ, потому что второй треугольник перевёрнут». Оцените вывод.

Вариант II — зеркальное расположение и смена букв

Треугольник KLM имеет KL=8, LM=10, KM=13 см. Второй, зеркально развернутый XYZ, имеет ZX=12, XY=15, ZY=19,5 см. По соответствующим углам доказано K↔Z, L↔X, M↔Y. Значит, KL↔ZX, LM↔XY, KM↔ZY, а масштаб второй фигуры относительно первой 3/2.

Девять заданий второго варианта

Задание 10. Ученик записал KL/ZX = LM/XY. Проверьте пропорцию.

Задание 11. Ученик поставил KM вместо LM в пропорцию KL/ZX = KM/XY. Где ошибка?

Задание 12. Найдите коэффициент увеличения при переходе KLM → XYZ.

Задание 13. Ученик написал LM/KL = XY/ZX. Это пропорция верна?

Задание 14. Если площадь KLM обозначена t см², выразите площадь XYZ через t.

Задание 15. Сторона KM=13 см. Ученик нашёл XY=19,5 см. Что он перепутал?

Задание 16. После отражения в зеркале поменяются ли площади и коэффициент 3/2?

Задание 17. Ученик записал KL/KM=ZX/ZY. Вычислите и оцените равенство.

Задание 18. Сравните отношения периметров KLM:XYZ и площадей KLM:XYZ.

Ключ для учителя — вариант I

Ответ 1. Да: 6/10 = 9/15 = 3/5. Оба отношения построены в одном направлении — ABC/PQR.

Ответ 2. Нет: слева 6/10=3/5, справа 15/9=5/3. Замените QR/BC на BC/QR = 9/15.

Ответ 3. AC соответствует PR. Внешнее расположение вершин не меняет соответствие A↔P, C↔R.

Ответ 4. P(ABC)=6+9+12=27 см, P(PQR)=10+15+20=45 см. Отношение 27:45=3:5, как и для соответствующих сторон.

Ответ 5. Не нужно: AC/PR=12/20=3/5 и AB/PQ=6/10=3/5. Пропорция верна.

Ответ 6. Масштаб PQ/AB=10/6=5/3. Тогда PR=12·5/3=20 см. Проверка: 12/20=6/10.

Ответ 7. BC нужно сопоставить QR=15, а не PQ=10. Правильное BC/QR=9/15=3/5.

Ответ 8. Квадрат коэффициента длин: (3/5)²=9/25. Поворот или отражение не влияет на площадь.

Ответ 9. Неверно: AC соответствует PR, обе стороны наиболее длинные. Переворот меняет вид рисунка, но не угол, которому противолежит сторона.

Ключ для учителя — вариант II

Ответ 10. Верно: 8/12=10/15=2/3. Запись соответствует K↔Z, L↔X, M↔Y.

Ответ 11. Стороне KM соответствует ZY, а не XY. Правильно KL/ZX=KM/ZY: 8/12=13/19,5=2/3.

Ответ 12. ZX/KL=12/8=3/2; проверка XY/LM=15/10=3/2 и ZY/KM=19,5/13=3/2.

Ответ 13. Да: 10/8=5/4 и 15/12=5/4. Допускается сравнение разных сторон внутри каждого треугольника, если пары соответствуют.

Ответ 14. S(XYZ)=t·(3/2)²=9t/4 см². Площадь нельзя вычислять умножением на 3/2: нужен квадрат коэффициента.

Ответ 15. 19,5 см — длина ZY, соответствующая KM; XY соответствует LM=10 см и равна 15 см.

Ответ 16. Нет. Отражение сохраняет длины и площадь, а коэффициент между разными подобными треугольниками остаётся 3/2.

Ответ 17. Оно верно: 8/13=12/19,5, поскольку 12/19,5=24/39=8/13. Важно сохранять соответствующие стороны.

Ответ 18. Периметры 31 и 46,5 см, отношение 2:3. Площади относятся как (2/3)²=4:9. Эти отношения различны по смыслу.

Разбор и критерии

Первая характерная ошибка — сравнивать вершины по их положению на странице. Вместо этого используйте соответствующие углы или точно заданное соответствие вершин. Вторая — писать часть дробей в направлении «первый ко второму», а часть в обратном: тогда числитель и знаменатель меняются местами только в одной колонке, нарушая пропорцию.

Третья ошибка появляется при переходе к площади: коэффициент отношения периметров k не равен коэффициенту отношения площадей k², кроме особого случая k=1. В данном листе ABC:PQR по площадям 9:25, а KLM:XYZ — 4:9, хотя отношения длин у обоих примеров не равны 1.

Для учителя: задания 1–9 и 10–18 — самостоятельные варианты, каждый оценивается отдельно: по 1 баллу за правильный вывод и по 1 за объяснение или вычисление, максимум 18 баллов на вариант. Ошибка, обнаруженная и исправленная верной пропорцией, считается полноценным ответом. Для печати можно использовать стандартную печать браузера, никаких кнопок или сценариев в статье нет.