Поиск ошибки в пропорции с общим углом и параллельными отрезками — проверочная работа по математике, 8 класс

Проверочная работа — 8 класс. В треугольнике ABC точки D и E лежат соответственно на сторонах AB и AC; DE ∥ BC. Треугольники ADE и ABC имеют общий угол A и подобны по двум углам. Верная пропорция: AD/AB = AE/AC = DE/BC. Если считать площади, нужно возвести линейную долю в квадрат.

Разберите неверное решение перед началом

Ошибка ученика: «AB=20 см, AD=8 см, AC=25 см, S(ABC)=125 см². Масштаб малого треугольника 20/8=2,5; AE=25·2,5=62,5 см; S(ADE)=125·2,5=312,5 см²». Ответ не может быть верным: E лежит на AC, значит AE < AC, а площадь малого треугольника меньше площади большого.

Исправление: k=AD/AB=8/20=2/5. Тогда AE=25·2/5=10 см, S(ADE)=125·(2/5)²=20 см². Проверка: 10/25=8/20; 20/125=4/25. Не следует лечить ошибку перестановкой чисел наугад: сначала укажите, какая фигура числитель.

Часть I — пять разных способов ошибиться

Задание 1. AB=24, AD=9, BC=32. Ученик записал DE/BC = AB/AD и получил DE=85⅓ см. Исправьте направление отношения.

Задание 2. AB=18, AD=6, AC=28, AE=7. Заявлено DE ∥ BC. Найдите противоречие.

Задание 3. AB=25, AD=10, BC=30. Ученик нашёл DE=12 см. Есть ли ошибка?

Задание 4. AD=8, AB=20, AE=12, AC=30. Ученик записал AD:AB=2:5, а AE:AC=5:2. Где ошибка?

Задание 5. AB=36, AD=12, S(ABC)=180 см². Ученик назвал S(ADE)=60 см². Исправьте.

Часть II — закрепление на других числах

В вопросах 6–15 обратите внимание на единый порядок числителя и знаменателя. Устно отметьте, является ли результат разумным: внутренний параллельный отрезок всегда короче основания большого треугольника.

Задание 6. AB=30, AD=15, BC=26. Ученик написал DE=13 см. Проверить.

Задание 7. AB=27, AD=9, AC=33. Ученик получил AE=11 см. Проверить.

Задание 8. AB=40, AD=10, BC=36. Ученица вычислила DE=9 см, затем написала S(ADE):S(ABC)=1:4. Найдите неверный шаг.

Задание 9. AB=32, AD=20, AC=48. Ученик получил AE=48·32/20=76,8 см. Исправьте.

Задание 10. AB=45, AD=18, S(ABC)=250 см². Ученик нашёл S(ADE)=100 см². Исправьте.

Задание 11. AD=14, AB=35, DE=16. Ученик записал BC=16·14/35. Исправьте.

Задание 12. AD/AB=3/7, S(ABC)=196 см². Ученик назвал S(ADE)=84 см². Исправьте.

Задание 13. AB=28, AD=12, AC=35, AE=15. Ученик заявил, что параллельность невозможна, поскольку дроби различны по виду. Верно?

Задание 14. AB=42, AD=21, BC=18, DE=10. Может ли DE ∥ BC?

Задание 15. Если DE ∥ BC, AD/AB=4/9, а S(ADE)=64 см², какой должна быть S(ABC)?

Ответы и аргументация

Ответ 1. Должно быть DE/BC = AD/AB = 9/24=3/8. DE = 32·3/8=12 см. Ошибочный результат больше BC, хотя DE внутри большого треугольника.

Ответ 2. AD/AB=6/18=1/3, AE/AC=7/28=1/4. Поскольку отношения не совпадают, такие точки D,E не могут одновременно удовлетворять DE ∥ BC. Нельзя выбирать удобную из двух дробей.

Ответ 3. Ошибки нет: 10/25=2/5; DE=30·2/5=12 см. Проверка 12/30=2/5. Верное решение может быть включено в диагностическую работу.

Ответ 4. Во второй дроби порядок перевёрнут. AE/AC=12/30=2/5, поэтому обе пропорции согласованы с DE ∥ BC.

Ответ 5. Коэффициент длин 12/36=1/3; коэффициент площади 1/9. S(ADE)=180/9=20 см², а не 60. Линейная доля не равна доле площади.

Ответ 6. Верно: DE=26·15/30=13 см. Доля длин 1/2, а не 2.

Ответ 7. Верно: 9/27=1/3, 33·1/3=11 см. Подстановка 11/33=1/3 подтверждает ответ.

Ответ 8. DE=36·10/40=9 см вычислено верно. Но площадь относится как (1/4)²=1/16, то есть 1:16.

Ответ 9. Нужно AE=48·20/32=30 см; дробь AD/AB=5/8 меньше 1. AE=76,8 см не может уместиться внутри AC=48 см.

Ответ 10. Линейная доля 18/45=2/5, квадрат 4/25. Значит, S(ADE)=250·4/25=40 см².

Ответ 11. DE/BC=14/35=2/5, поэтому BC=16/(2/5)=40 см. Для поиска большого основания делим меньшую длину на коэффициент.

Ответ 12. S(ADE)=196·(3/7)²=196·9/49=36 см². Число 84 получается от умножения на 3/7 без возведения в квадрат.

Ответ 13. Неверно: 12/28=3/7, 15/35=3/7. Пропорции равны после сокращения; противоречия нет.

Ответ 14. Нет. AD/AB=21/42=1/2, DE/BC=10/18=5/9. Разные коэффициенты нарушают пропорцию, следовательно, параллельность невозможна при данных точках.

Ответ 15. S(ADE)/S(ABC)=(4/9)²=16/81. Поэтому S(ABC)=64·81/16=324 см². Контроль 64/324=16/81.

Итог: что проверять в пропорции

Первая проверка — геометрическая: D и E лежат внутри сторон большого треугольника, значит AD/AB и AE/AC лежат между 0 и 1. Вторая — алгебраическая: соответствующие отрезки должны быть записаны в том же направлении. Третья — размерность: отношение длин без единиц, площадь — в см², а не в см.

Отметьте за каждое задание 1 балл за правильный вывод и ещё 1 балл за проверку или исправленную формулу; максимум 30 баллов. Если в работе ошибочным оказался только переход к площади, повторите квадрат коэффициента, а если не совпали дроби отрезков — сначала переставьте соответствующие стороны и проверьте условия параллельности.