Поиск ошибки в утверждении для секущей с наклонными отрезками — мини-практикум с ответами, 7 класс

Два варианта: обнаружьте ошибку в утверждении

Цель мини-практикума — отличать верное геометрическое основание от убедительно звучащего, но неверного. Не полагайтесь на форму рисунка: наклонные отрезки могут казаться разной длины. Во всех заданиях секущая t — одна прямая, пересекающая различные прямые l и m, а углы заданы точно. Записывайте проверку перед словами «верно» или «ошибка».

Вариант А — две внутренние односторонние величины

У верхнего пересечения справа от t внутренний угол θ, у нижнего справа — φ. Здесь условие параллельности имеет вид θ + φ = 180°. Ученики в примерах ниже делали выводы, не всегда верно применяя этот признак.

1. θ = 71°, φ = 109°. Ученик утверждает: «Не параллельны: один угол острый, другой тупой.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
2. θ = 62°, φ = 62°. Ученик утверждает: «Параллельны, поскольку измерения равны.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
3. θ = 95°, φ = 85°. Ученик утверждает: «Параллельны: сумма двух внутренних односторонних равна 180°.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
4. θ = 107°, φ = 75°. Ученик утверждает: «Параллельны: сумма почти равна 180°.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
5. θ = 84°, φ = 96°. Ученик утверждает: «Не параллельны: справа наклонный отрезок короче.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
6. θ = 118°, φ = 62°. Ученик утверждает: «Параллельны: проверены внутренние односторонние.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
7. θ = 44°, φ = 135°. Ученик утверждает: «Параллельны: разница всего один градус.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.
8. θ = 90°, φ = 90°. Ученик утверждает: «Не параллельны: слишком большие два прямых угла.» Найдите ошибку или подтвердите утверждение.

Вариант Б — внешний угол вместо внутреннего

Теперь вместо нижнего внутреннего φ записан внешний смежный с ним e. Ученик должен заметить смену типа угла: φ = 180° − e, поэтому линии параллельны ровно тогда, когда θ = e. Это другая схема решения, хотя визуально пересечения могут выглядеть так же.

1. θ = 68°, e = 68°. Записан вывод: «Не параллельны, ведь 68 + 68 ≠ 180.» Исправьте либо докажите.
2. θ = 104°, e = 76°. Записан вывод: «Параллельны: 104 + 76 = 180.» Исправьте либо докажите.
3. θ = 53°, e = 53°. Записан вывод: «Параллельны: внутренний сверху равен нижнему внешнему.» Исправьте либо докажите.
4. θ = 121°, e = 121°. Записан вывод: «Не параллельны, потому что верхний угол тупой.» Исправьте либо докажите.
5. θ = 82°, e = 83°. Записан вывод: «Параллельны после округления.» Исправьте либо докажите.
6. θ = 99°, e = 99°. Записан вывод: «Параллельны; нижний внутренний угол 81°.» Исправьте либо докажите.
7. θ = 47°, e = 133°. Записан вывод: «Параллельны, так как указанные углы в сумме составляют 180°.» Исправьте либо докажите.
8. θ = 113°, e = 113°. Записан вывод: «Для параллельности нужен нижний внешний угол 67°, поэтому нет.» Исправьте либо докажите.

Взаимная проверка

Обменяйтесь листами. За каждый пункт партнёр ставит один балл за правильный вывод и один за верное числовое объяснение. Максимум 16 баллов за вариант. В работе из 16 пунктов — 32 балла. Если итог верен, но объяснение ссылается на неподходящую пару углов, балл за объяснение не ставится.

Ключ и разбор неочевидных ответов

Вариант А

1. Ошибка: по признаку 71 + 109 = 180, прямые параллельны.
2. Ошибка: равенство внутренних односторонних не является признаком; сумма 124°, не параллельны.
3. Верно: 95 + 85 = 180.
4. Ошибка: сумма 182°, нет точного признака.
5. Ошибка: длина видимой части секущей не влияет на признак; сумма 180°, параллельны.
6. Верно: 118 + 62 = 180.
7. Ошибка: сумма 179°, параллельность по этим точным данным не подтверждена.
8. Ошибка: 90 + 90 = 180°, прямые параллельны и обе перпендикулярны секущей.

Вариант Б

1. Ошибка: нижний внутренний равен 112°, а верхний 68°; сумма 180°. Внешние углы требуется сравнивать на равенство.
2. Ошибка: верхний внутренний должен равняться нижнему внешнему; 104 ≠ 76. Нижний внутренний 104°, сумма внутренних 208°.
3. Верно: нижний внутренний 127°, сумма 180°.
4. Ошибка: θ = e = 121° — признак параллельности; нижний внутренний 59°.
5. Ошибка: θ ≠ e, поскольку округление не оговорено; нижний внутренний 97°, сумма 179°.
6. Верно: смежный 180 − 99 = 81°, сумма 180°.
7. Ошибка: θ и e не внутренние односторонние, нужно равенство. φ = 47°, сумма внутренних 94°.
8. Ошибка: нужен e = θ = 113°; нижний внутренний = 67°, прямые параллельны.

Обратите внимание на два случая. В варианте А, задание 2, равенство двух внутренних односторонних углов само по себе не доказывает параллельность, кроме частного случая по 90°. В варианте Б, задание 7, числа 47° и 133° действительно дают в сумме 180°, но это не та пара углов, для которой требуется сумма: подстановка в неверный признак недопустима.

При проверке взаимных работ не допускайте следующей подмены: «на чертеже линии вроде бы параллельны» не является доказательством. В геометрической задаче требуется конкретный признак и точное указание, какие углы используются. Это особенно важно, когда секущая нарисована очень наклонно или изображение распечатано под углом.