Поиск подходящего интервала значений по графику затрат для 9 класса — упражнения с разбором

Как читать график затрат и выбирать интервалы

На рисунке показана модель стоимости доставки в зависимости от длины маршрута. Горизонтальная ось — километры, вертикальная — рубли. Соседние отмеченные точки соединены отрезками; значения между ними считывают по линии. Рассматриваются лишь расстояния от 0 до 8 км, включая концы.

Перед выбором интервала сначала отметьте на оси затрат заданный порог, затем найдите на линии графика участки выше или ниже него. И только после этого перенесите границы на ось x. «Не более» включает равенство, «меньше» — нет.

Мини-тест: выбрать, вычислить, объяснить

1. Укажите всю область допустимых значений x, которую показывает график.
2. Выберите верное утверждение: А) C постоянно на [0;2]; Б) C постоянно на [2;4]; В) C уменьшается на [6;8].
3. Найдите затраты при x = 1 км.
4. Какую сумму показывает график при x = 3,5 км?
5. Вычислите C(5) по отрезку графика.
6. При каком x затраты впервые достигают 500 ₽?
7. Какому интервалу x соответствует бюджет не более 300 ₽?
8. На каком интервале затратам соответствует диапазон от 300 до 500 ₽ включительно?
9. Найдите все x, при которых C(x) = 300 ₽.
10. Если бюджет строго меньше 400 ₽, какие расстояния разрешены?
11. Укажите x, для которых 400 ≤ C(x) ≤ 550 ₽.
12. При каком x стоимость составит 450 ₽?
13. Сравните рост стоимости на участках [0;2] и [4;6]: где цена растёт быстрее на 1 км и во сколько раз?
14. Составьте выражение C(x) для отрезка [6;8].
15. Даны варианты «[0;5]», «[0;5)», «(0;5]». Какой описывает условие C(x) < 400 ₽?
16. Объясните, почему C = 250 ₽ нельзя получить на расстоянии 3 км, несмотря на то что 250 находится в общем диапазоне затрат.

Лист ответов и проверка рассуждений

1. x ∈ [0;8] км: левый и правый концы включены, вне их данных нет.
2. Б: на участке от 2 до 4 км горизонтальный отрезок и затраты равны 300 ₽.
3. 250 ₽: на [0;2] прирост 100 ₽ за 2 км, то есть 50 ₽/км; 200 + 50·1 = 250.
4. 300 ₽: точка 3,5 км лежит на горизонтальном участке [2;4].
5. 400 ₽: на [4;6] прирост 200 ₽ за 2 км; C(5) = 300 + 100·(5−4) = 400.
6. 6 км: у вершины (6;500) первое достижение 500 ₽.
7. [0;4] км: от 0 до 4 включительно стоимость не превышает 300 ₽.
8. [2;6] км: в начале указанного диапазона 300 ₽, в конце 500 ₽.
9. Все x ∈ [2;4] км, а не одна точка: график на этом промежутке горизонтален.
10. [0;5) км: при x=5 стоимость равна 400 ₽, поэтому крайняя точка исключена.
11. [5;7] км: C(5)=400 ₽ и C(7)=550 ₽, оба порога включены.
12. 5,5 км: 300+100·(x−4)=450, значит x−4=1,5.
13. На [4;6]: 100 ₽/км против 50 ₽/км на [0;2], вдвое быстрее.
14. C(x)=500+50·(x−6) ₽ при 6 ≤ x ≤ 8; в точках 6 и 8 получаем 500 и 600 ₽.
15. Верный вариант [0;5): нуль допускается, а x=5 не удовлетворяет строгому порогу.
16. На x=3 км стоимость ровно 300 ₽. Допустимое значение C само по себе не означает, что оно достигается в любой точке x.

Три спорных случая

• Горизонтальный участок: одна и та же цена 300 ₽ достигается на целом отрезке расстояний [2;4], а не только на вершинах.
• Неравенство со строгим знаком: при бюджете меньше 400 ₽ точка x=5 исключается; при бюджете не более 400 ₽ она включается.
• Оси нельзя менять местами: «расход 450 ₽» задаёт горизонтальный уровень C=450, ответ по расстоянию — x=5,5 км, а не 450 км.

Для учителя: предложите ученику указать на рисунке каждую граничную точку и записать единицы измерения. При изменении бюджета интервал может быть закрытым, открытым или полуоткрытым; форма зависит от знака неравенства, а не от оформления чертежа.